[论文解读] Zero sum partition into sets of the same order and its applications

Sylwia Cichacz|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2017

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文建立了阿贝尔群 Γ 具有 m-零和划分（m-ZSP）性质的必要且充分条件：Γ 当且仅当 |Γ| 为奇数，或 m ≥ 3 且 Γ 有超过一个对合元时，具有 m-ZSP 性质。所得结果被应用于构造某些图的群距离魔幻标记，并证明了 Γ-Kotzig 数组存在的条件。

ABSTRACT

We will say that an Abelian group $Γ$ of order $n$ has the $m$-\emph{zero-sum-partition property} ($m$- extit{ZSP-property}) if $m$ divides $n$, $m\geq 2$ and there is a partition of $Γ$ into pairwise disjoint subsets $A_1, A_2,\ldots , A_t$, such that $|A_i| = m$ and $\sum_{a\in A_i}a = g_0$ for $1 \leq i \leq t$, where $g_0$ is the identity element of $Γ$. In this paper we study the $m$-ZSP property of $Γ$. We show that $Γ$ has $m$-ZSP if and only if $|Γ|$ is odd or $m\geq 3$ and $Γ$ has more than one involution. We will apply the results to the study of group distance magic graphs as well as to generalized Kotzig arrays.

研究动机与目标

• 确定有限阿贝尔群 Γ 具备划分为大小为 m 且和为零的子集的必要且充分条件。
• 将 ZSP 性质推广至均匀子集大小 m，推广先前关于任意大小零和划分的研究。
• 将 m-ZSP 的结果应用于构造正则图和二分图的群距离魔幻标记。
• 研究 Γ-Kotzig 数组的存在性——即 j×k 的格子，其元素取自阿贝尔群 Γ，每一行是 Γ 的一个排列，且所有列的和为同一群元素。

提出的方法

• 定义 m-ZSP 性质：将 Γ 划分为不相交的大小为 m 的子集，每个子集的和为单位元 g₀。
• 使用群论技术，包括对合元的性质和有限阿贝尔群的结构，刻画 m-ZSP。
• 将 m-ZSP 条件应用于构造图 G∘K̄n 的 Γ-距离魔幻标记，特别关注正则图和二分图。
• 通过使用群自同态和满足和条件的双射，组合 2×k 和 3×k 数组来构造 Γ-Kotzig 数组。
• 利用已知的 ZSP 性质结果（例如定理 2），并将其推广至均匀子集大小 m。
• 利用如下事实：若 Γ 有超过一个对合元或阶为奇数，则当 m ≥ 3 时，m-ZSP 成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些有限阿贝尔群 Γ 和整数 m ≥ 2，存在将 Γ 划分为大小为 m 的不相交子集的划分，使得每个子集的和为单位元？
• RQ2 Γ 中对合元的数量如何影响当 m ≥ 3 时 m-ZSP 的存在性？
• RQ3 在何种条件下，图 G∘K̄n 可以拥有某个阶为 |V(G)| 的阿贝尔群 Γ 的 Γ-距离魔幻标记？
• RQ4 对于给定的阿贝尔群 Γ 和整数 j, k，何时存在大小为 j×k 的 Γ-Kotzig 数组？
• RQ5 ZSP 性质能否推广至大小为 m ≥ 3 的相等子集划分？

主要发现

• 阿贝尔群 Γ 具有 m-ZSP 性质当且仅当 |Γ| 为奇数，或 m ≥ 3 且 Γ 有超过一个对合元。
• 当 m ≥ 3 时，每个具有超过一个对合元的有限阿贝尔群 Γ 都具有 m-ZSP 性质。
• G∘K̄n 具有 Γ-距离魔幻标记的存在性取决于 rn 的奇偶性以及 Γ 的结构，特别是对合元的数量。
• 当 j > 1 且 j 为偶数，或 j 为奇数且 Γ ∈ ℒ（即具有超过一个对合元）时，任意阿贝尔群 Γ 的 j×k 大小的 Γ-Kotzig 数组存在。
• 对于任意阿贝尔群 Γ，大小为 2×k 的 Γ-Kotzig 数组存在，方法为令 x₁ᵢ = gᵢ 且 x₂ᵢ = -gᵢ。
• 对于任意 Γ ∈ ℒ，大小为 3×k 的 Γ-Kotzig 数组存在，方法为使用双射 φ 和 ψ，使得对所有 g ∈ Γ，有 g + φ(g) + ψ(g) = g₀。