[论文解读] Zero viscosity and thermal diffusivity limit of the linearized compressible Navier-Stokes-Fourier equations in the half plane

Yutao Ding, Ning Jiang|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 5被引用 4

一句话总结

该论文在零粘性系数与热扩散率极限下，针对半平面上的线性化可压缩纳维-斯托克斯-傅里叶方程建立了统一稳定性，其中两个参数以相同速率趋于零。通过多尺度渐近分析与能量方法，构造了一个包含粘性与热边界层耦合的近似解，并证明了逐点误差估计，从而确认了解向欧拉方程的统一收敛性。

ABSTRACT

We study the zero viscosity and heat conductivity limit of an initial boundary problem for the linearized Navier-Stokes-Fourier equations of a compressible viscous and heat conducting fluid in the half plane. We consider the case that the viscosity and thermal diffusivity converge to zero at the same order. The approximate solution of the linearized Navier-Stokes-Fourier equations with inner and boundary expansion terms is analyzed formally first by multiscale analysis. Then the pointwise estimates of the error terms of the approximate solution are obtained by energy methods, thus establish the uniform stability for the linearized Navier-Stokes-Fourier equations in the zero viscosity and heat conductivity limit. This work is based on \cite{xy} and generalize the results from isentropic case to the general compressible fluid with thermal diffusive effect. Besides the viscous layer as in \cite{xy}, thermal layer appears and coupled with the viscous layer linearly.

研究动机与目标

• 分析半平面上线性化可压缩纳维-斯托克斯-傅里叶方程在零粘性系数与热扩散率极限下的行为。
• 将先前关于等熵流体的结果推广至包含热扩散效应的一般可压缩情形。
• 严格建立线性化纳维-斯托克斯-傅里叶解在粘性系数与热扩散率同时趋于零时的统一稳定性。
• 在渐近展开中考虑粘性与热边界层之间的耦合效应。
• 通过加权索伯列夫空间中的能量方法，推导近似解的逐点误差估计。

提出的方法

• 通过多尺度渐近分析形式化构造近似解，引入内层解与边界层修正项。
• 引入边界特征变量，并为粘性与热边界层分别导出普朗特型方程。
• 在加权索伯列夫范数下应用能量估计，权重为 $\langle z_1 \rangle^l$，以控制边界附近的增长。
• 利用换位子估计与分部积分法，控制误差方程中非线性项与微分项的大小。
• 通过归纳法与迭代微分，推导时间与空间导数至 $m$ 阶与 $s$ 阶的先验估计。
• 建立误差的 $L^2$-型能量估计，从而获得与小参数无关的统一有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当粘性系数与热扩散率以相同速率趋于零时，线性化可压缩纳维-斯托克斯-傅里叶方程的解如何演化？
• RQ2 在半平面上同时存在粘性与热效应时，边界层的结构是怎样的？
• RQ3 是否可以在零粘性系数与零热扩散率极限下，为线性化系统建立统一稳定性？
• RQ4 在渐近展开中，粘性与热边界层如何相互作用？
• RQ5 纳维-斯托克斯解向欧拉解的极限收敛速率如何？能否通过误差估计进行量化？

主要发现

• 近似解包含求解线性化欧拉方程的内层项，以及求解常微分方程组与普朗特型方程的边界层项。
• 出现了一种粘性-热边界层耦合结构，两层之间存在线性耦合。
• 通过加权 $L^2$ 空间中的能量方法，推导出近似解的逐点误差估计。
• 速度与温度分量的误差在时间和空间上均匀有界，且与小粘性系数和扩散率参数无关。
• 在权重 $\langle z_1 \rangle^l$ 下建立了误差的 $L^2$-型能量估计，确保了边界附近的控制能力。
• 主要结果为：在零粘性系数与零热扩散率极限下，线性化纳维-斯托克斯-傅里叶解具有统一稳定性，误差界形式为 $\| \text{error} \| \leq C \| \text{forcing} \| $，在适当的范数下成立。