[论文解读] Zeros of Modular Forms in Thin Sets and Effective Quantum Unique Ergodicity

Stephen Lester, Kaisa Matomäki+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文研究了当权 k → ∞ 时，全纯 Hecke cusp 形式在薄集中的零点分布，建立了这些形式的有效量子唯一遍历性（QUE），并证明了对缓慢收缩的双曲球的无条件结果。在广义 Lindelöf 猜想下或对几乎所有形式，其误差项实现了幂次改进，并表明在两个竖直测地线上存在正比例的高尖点零点，且在该假设下，下界显著提高。

ABSTRACT

We study the distribution of zeros of holomorphic Hecke cusp forms in several thin sets as the weight, k, tends to infinity. We obtain unconditional results for slowly shrinking (with k) hyperbolic balls. This relies on a new, effective, proof of Rudnick's theorem and on an effective version of Quantum Unique Ergodicity for holomorphic forms, which we obtain in this paper. In addition, assuming the Generalized Lindel\of Hypothesis or looking only at almost all Hecke cusp forms, we get a formula with a power saving bound for the error term. We also study the zeros high up in the cusp. Here it is conjectured by Ghosh and Sarnak that these zeros lie on two vertical geodesics. We show that for almost all forms a positive proportion of zeros high up in the cusp are on these geodesics. For all forms, assuming the Generalized Lindel\of Hypothesis, we obtain lower bounds on the number of such zeros which are significantly better than the unconditional results.

研究动机与目标

• 理解当权 k 趋于无穷时，全纯 Hecke cusp 形式在薄集中的零点分布。
• 为全纯模形式建立有效版本的量子唯一遍历性（QUE）。
• 证明在缓慢收缩的双曲球中零点分布的无条件结果。
• 研究 Ghosh 和 Sarnak 提出的猜想，即高尖点零点位于两条竖直测地线上。
• 在广义 Lindelöf 猜想下，改进此类零点数量的下界。

提出的方法

• 发展 Rudnick 关于薄集中零点分布的定理的有效、定量证明。
• 通过谱理论和 L²-范数的界，为全纯 Hecke cusp 形式建立有效的 QUE 结果。
• 利用 L-函数和自守形式的有效界来控制零点计数中的误差项。
• 应用双曲几何和测地线流的理论，分析靠近尖点处的零点。
• 采用广义 Lindelöf 猜想，推导改进的误差项和下界。
• 分析几乎所有 Hecke cusp 形式，以在不假设 GRH 的情况下实现幂次改进的误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当权 k → ∞ 时，全纯 Hecke cusp 形式的零点在薄集中的分布如何？
• RQ2 在广义 Lindelöf 猜想下，零点分布中误差项的有效界可以如何建立，特别是其改进程度？
• RQ3 如 Ghosh 和 Sarnak 所猜想，Hecke cusp 形式的高尖点零点在两条竖直测地线上聚集的程度如何？
• RQ4 是否可以对这些测地线上高尖点零点的比例获得无条件结果？
• RQ5 在广义 Lindelöf 猜想下，此类零点数量的下界可以实现多大程度的改进？

主要发现

• 本文为全纯 Hecke cusp 形式建立了有效版本的量子唯一遍历性，从而实现了对零点分布的定量控制。
• 对于缓慢收缩的双曲球，本文在 k → ∞ 时获得了零点分布的无条件结果。
• 在广义 Lindelöf 猜想下或对几乎所有形式，零点计数公式的误差项实现了幂次改进。
• 对几乎所有 Hecke cusp 形式，正比例的高尖点零点位于两个猜想中的竖直测地线上。
• 假设广义 Lindelöf 猜想，本文在这些测地线上高尖点零点数量的下界显著强于此前无条件已知的结果。