[论文解读] Zeros of polynomials orthogonal on several intervals

Franz Peherstorfer|ArXiv.org|Mar 28, 2002

Mathematical functions and polynomials参考文献 12被引用 4

一句话总结

该论文通过推导每个区间内零点数的精确公式以及零点出现在区间间隙中的判别准则，解决了正交多项式在多个区间上零点分布的长期悬而未决问题。利用黎曼曲面上的调和测度与雅可比反问题，证明了若调和测度在有理数上线性无关，则间隙中每个点都是零点的聚点；否则，仅有有限个此类点。

ABSTRACT

First a formula for the number of zeros of the orthogonal polynomial in the intervals is presented. Then a criteria about the appearance of a zero in a gap is given. Finally a necessary and sufficient condition is derived such that the zeros of the orthogonal polynomials have given accumulation points in the gaps. As a consequence it follows that every point from the gaps is an accumulation point of the zeros of the orthogonal polynomials, if the harmonic measures of the intervals are linearly independent over the rationals. If the harmonic measures are rational then there is a finite number of accumulation points only.

研究动机与目标

• 确定在不相交区间的并集的每个子区间中正交多项式的零点的确切数量。
• 建立零点出现在区间之间间隙中的条件，特别是它们是否在这些间隙中聚点化。
• 基于调和测度的有理独立性，刻画间隙中零点聚点集的特征。
• 通过黎曼曲面理论与势论的高级工具，将单区间正交多项式的经典结果推广至更复杂的多区间情形。

提出的方法

• 利用调和测度 $\omega_j(\infty)$ 和权函数的对数平均值，推导出每个区间 $E_j$ 中零点数的公式。
• 应用由 $y^2 = H(x)$ 定义的格林函数与黎曼曲面理论，分析正交多项式的渐近行为。
• 利用黎曼曲面上的雅可比反问题，编码零点位置及其聚点的信息。
• 通过伯恩斯坦-施杰戈权函数的逼近，将一般情形与已知的渐近表示联系起来。
• 应用克罗内克关于同时丢番图逼近的引理，控制雅可比反问题解的收敛性。
• 利用正交多项式及其渐近展开的统一有界性，证明间隙中聚点的存在性与位置。

实验结果

研究问题

• RQ1 正交多项式 $p_n$ 在并集 $E = \bigcup_{j=1}^l E_j$ 的每个区间 $E_j$ 中有多少个零点？
• RQ2 在什么条件下 $p_n$ 的零点会出现在间隙 $(a_{2j}, a_{2j+1})$ 中？
• RQ3 当零点的聚点集在 $[a_{2j}, a_{2j+1}]$ 中稠密时，其条件是什么？
• RQ4 当调和测度有理相关时，间隙中零点聚点集的结构如何？
• RQ5 能否使用势论与代数几何工具，对所有 $n$ 统一刻画零点分布？

主要发现

• 在每个区间 $E_j$ 中，$p_n$ 的零点数量由 $\left\lfloor n \omega_j(\infty) + \frac{1}{n} \log \left| \int_E \log |W| \, d\mu_e \right| \right\rfloor$ 或包含调和测度与权函数均值的类似表达式给出。
• $p_n$ 的零点出现在间隙 $(a_{2j}, a_{2j+1})$ 中，当且仅当关联的雅可比反问题的解位于黎曼曲面的对应分支中。
• 若调和测度 $\omega_1(\infty), \dots, \omega_{l-1}(\infty)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关，则 $[a_1, a_{2l}] \setminus E$ 中每个点都是 $p_n$ 零点的聚点。
• 若调和测度为有理数，即 $\omega_j(\infty) = k_j/N$，则每个间隙中聚点的数量至多为 $N + 2$。
• 正交多项式 $P_n$ 的渐近行为由格林函数及黎曼曲面 $y^2 = H(x)$ 上的雅可比反问题解所决定。
• 对于满足特定丢番图条件的序列 $n_\kappa$，$P_{n_\kappa}$ 的零点可被精确控制在间隙中任意给定的有限个点处聚点化。