[论文解读] Zeros of the Wigner Distribution and the Short-Time Fourier Transform

Karlheinz Gröchenig, Philippe Jaming+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2018

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 41被引用 22

一句话总结

本文研究了Wigner分布和短时傅里叶变换的零点集，证明了某些非高斯函数——特别是广义高斯函数、完全正则函数（例如指数函数的卷积）以及精心构造的有界阶梯函数——可以产生无零点的Wigner分布。关键贡献在于构造了显式例子，表明即使函数不是高斯函数，其Wigner分布也永不为零，揭示了其与Hurwitz多项式、贝塞尔函数以及Hudson定理之间的深刻联系。

ABSTRACT

We study the question under which conditions the zero set of a (cross-) Wigner distribution W (f, g) or a short-time Fourier transform is empty. This is the case when both f and g are generalized Gaussians, but we will construct less obvious examples consisting of exponential functions and their convolutions. The results require elements from the theory of totally positive functions, Bessel functions, and Hurwitz polynomials. The question of zero-free Wigner distributions is also related to Hudson's theorem for the positivity of the Wigner distribution and to Hardy's uncertainty principle. We then construct a class of step functions S so that the Wigner distribution W (f, 1 (0,1)) always possesses a zero f $\in$ S $\cap$ L p for p < $\infty$, but may be zero-free for f $\in$ S $\cap$ L $\infty$. The examples show that the question of zeros of the Wigner distribution may be quite subtle and relate to several branches of analysis.

研究动机与目标

• 确定Wigner分布W(f, g)或短时傅里叶变换V_g f 的零点集为空的条件。
• 通过构造非高斯例子，挑战‘仅广义高斯函数能产生无零点Wigner分布’的信念。
• 探索无零点Wigner分布与调和分析中已知定理（如Hudson定理和Hardy不确定性原理）之间的联系。
• 研究可积性与光滑性在零点存在性中的作用，特别是当g为区间特征函数时的情况。
• 分析在阶梯函数及其傅里叶变换的背景下，凸性与几乎周期性之间的相互作用及其对零点集的影响。

提出的方法

• 利用完全正则函数理论，从单边指数函数及其卷积构造无零点Wigner分布。
• 应用贝塞尔函数和Hurwitz多项式性质，验证某些Wigner分布（例如f(t) = t^n e^{-t} 1_{(0,∞)}）为无零点。
• 利用梅塔普利克算子和辛不变性，关联Wigner分布、模糊函数和短时傅里叶变换的零点集。
• 通过凸组合与几乎周期性论证，表明当L^p阶梯函数在Z ∪ αZ（α为无理数）处有间断点时，STFT必有零点。
• 构造一个特定的有界L^∞阶梯函数f，其间断点位于Z ∪ αZ（α为无理数），使得V_{1_{(0,1)}} f为无零点，基于无理旋转和三角恒等式进行精细论证。
• 应用复分析与单位圆内的凸性，分析阶梯函数的傅里叶变换，并推导傅里叶系数为零的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 非高斯函数f和g能否产生无零点的Wigner分布W(f, g)？
• RQ2 完全正则性、贝塞尔函数和Hurwitz多项式在确保Wigner分布无零点方面起什么作用？
• RQ3 当g为特征函数时，可积性类（L^p与L^∞）如何影响短时傅里叶变换中零点的存在性？
• RQ4 Wigner分布的零点集在多大程度上与Hudson关于非负Wigner分布的定理相关？
• RQ5 对于具有间断点位于Z ∪ αZ（α为无理数）的有界阶梯函数f ∈ L^∞(R)，能否使V_{1_{(0,1)}} f为无零点？

主要发现

• 存在非高斯函数，例如单边指数函数的卷积（如f(t) = t^n e^{-t} 1_{(0,∞)}），其Wigner分布为无零点。
• f(t) = t^n e^{-t} 1_{(0,∞)}的Wigner分布包含贝塞尔函数作为因子，其无零点性由相关多项式的Hurwitz性质保证。
• 对于f ∈ L^p(R)（p < ∞）且在Z ∪ αZ（α为无理数）处有间断点的情况，短时傅里叶变换V_{1_{(0,1)}} f始终存在零点。
• 可构造一个具有间断点位于Z ∪ αZ（α为无理数）的有界L^∞阶梯函数f，使得V_{1_{(0,1)}} f为无零点，表明零点集对可积性极为敏感。
• 当阶梯函数f的三个区间端点为有理相关时，其傅里叶变换的零点集非空；但当关系为无理时，可在特定系数条件下避免零点。
• 当阶梯函数中系数序列(c_k)单调时，STFT V_{1_{(0,1)}} f为无零点；但若(c_k)不单调，则由于傅里叶变换中凸性论证的失效，零点存在。