[论文解读] Zeroth-order general Randic index of $k$-generalized quasi trees

Muhammad Kamran Jamil, Ioan Tomescu|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2018

Graph theory and applications参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文表征了在 $\alpha \neq 0$ 时，使零阶广义 Randić 指数 $^0R_\alpha(G) = \sum_{v \in V(G)} d(v)^\alpha$ 最小化和最大化之 $k$-广义拟树的极值图。通过图论优化与度序列分析，本文在 $\alpha < 0$、$0 < \alpha < 1$、$\alpha = 1$ 和 $\alpha > 1$ 的情形下建立了紧致界，表明极值图要么是完全连通图与星图的结合，要么具有近乎正则的度分布，具体取决于 $\alpha$ 的取值。本研究将此前关于 Zagreb 与 Randić 指数的结果推广至更广泛的图类。

ABSTRACT

For a simple graph $G(V,E)$, the zeroth-order general Randi\' c index is defined as $^0R_α(G)=\sum_{v\in V(G)}d(v)^α$, where $d(v)$ is the degree of the vertex $v$ and $α e0$ is a real number. The $k$-generalized quasi-tree is a connected graph $G$ with a subset $V_k\subset V(G)$, where $|V_k|=k$ such that $G-V_k$ is a tree, but for any subset $V_{k-1}\subset V(G)$ with cardinality $k-1$, $G-V_{k-1}$ is not a tree. In this paper, we characterize the extremal $k$-generalized quasi trees with the minimum and maximum values of the zeroth-order general Randi\' c index for $α eq 0$.

研究动机与目标

• 确定阶为 $n$ 的 $k$-广义拟树中，使零阶广义 Randić 指数 $^0R_\alpha(G)$ 最小化和最大化之图，其中 $\alpha \neq 0$。
• 将此前关于树与拟树中极值指数的研究结果，推广至更广泛的 $k$-广义拟树类。
• 基于 $\alpha$ 的取值，结合 $k$-拟顶点的结构约束，建立 $^0R_\alpha(G)$ 的精确上下界。
• 表征在不同 $\alpha$ 区间下实现极值指数的图的具体结构。
• 将 $k=1$（由 Qiao 研究）的情形推广至任意 $k \geq 1$。

提出的方法

• 采用零阶广义 Randić 指数 $^0R_\alpha(G) = \sum_{v \in V(G)} d(v)^\alpha$，其中 $\alpha \neq 0$ 为实参数。
• 通过引理 1–7 进行度序列优化，特别利用 $x^\alpha$ 的凸性/凹性，比较度重新分配下的指数值。
• 使用图操作，如边添加 ($G + uv$) 和顶点度调整 ($G' = G + uw - vw$)，以证明在不同 $\alpha$ 区间下的极值性。
• 使用连通运算 $K_k + T_{n-k}$ 构造候选极值图，尤其适用于 $\alpha > 1$ 和 $\alpha = 1$ 的情形。
• 应用结构约束：当 $\alpha > 1$ 时，极值图中 $k$-拟顶点诱导出一个完全子图；当 $\alpha < 0$ 时，最小图中 $k$-拟顶点的度为 2。
• 将极值图论结果（如 $\alpha < 0$ 或 $\alpha > 1$ 时的极值树）应用于 $k$-广义拟树框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有阶为 $n$ 的 $k$-广义拟树中，零阶广义 Randić 指数 $^0R_\alpha(G)$ 的最小值与最大值是多少？
• RQ2 极值图如何依赖于 $^0R_\alpha(G) = \sum d(v)^\alpha$ 中的指数 $\alpha$？
• RQ3 当 $\alpha < 0$、$0 < \alpha < 1$、$\alpha = 1$ 和 $\alpha > 1$ 时，哪些图结构使 $^0R_\alpha(G)$ 最小化或最大化？
• RQ4 能否根据其度序列与连通性模式，显式表征极值图？
• RQ5 本研究结果如何推广此前关于 $k=1$ 及第一、二阶 Zagreb 指数的研究成果？

主要发现

• 当 $\alpha > 1$ 时，$^0R_\alpha(G)$ 的最大值当且仅当 $G = K_k + S_{n-k}$ 时取得，其上界为 $ (k+1)(n-1)^\alpha + (n-k-1)(k+1)^\alpha $。
• 当 $\alpha > 1$ 时，$^0R_\alpha(G)$ 的最小值为 $ (n-2k+2)2^\alpha + (2k-2)3^\alpha $，当 $G$ 有 $n-2k+2$ 个度为 2 的顶点与 $2k-2$ 个度为 3 的顶点时取得。
• 当 $\alpha = 1$ 时，最小值为 $2(n+k-1)$，当所有 $k$-拟顶点的度为 2 时取得；最大值为 $2n(k+1) - k(k+3) - 2$，当 $G = K_k + T_{n-k}$ 且 $T_{n-k}$ 为任意图时取得。
• 当 $0 < \alpha < 1$ 时，最大值为 $k(n-1)^\alpha + 2(k+1)^\alpha + (n-k-2)(k+2)^\alpha $，当且仅当 $G = K_k + P_{n-k}$ 时取得。
• 当 $k=1$ 且 $0 < \alpha < 1$ 时，最小值为 $ (n-1)^\alpha + 2^{\alpha+1} + n - 3 $，当 $G = K_1 \bullet_{u,v} S_{n-1}$ 且 $u$ 为中心、$v$ 为悬挂顶点时取得。
• 当 $k \geq 2$ 且 $0 < \alpha < 1$ 时，最小值为 $ (n-2)^\alpha + k \cdot 2^\alpha + (k+2)^\alpha + n - k - 2 $，当 $G = \overline{K_k} \bullet_{u,v} S_{n-k-2,2}(u,v)$ 且 $u$ 与 $v$ 的度分别为 $n-k-2$ 与 $2$ 时取得。