[论文解读] Zeta functions and regularized determinants related to the Selberg trace formula

Arash Momeni, Alexei B. Venkov|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2011

Advanced NMR Techniques and Applications参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文建立了自守群的zeta函数、正则化行列式与酉表示的Fuchsian群的Selberg迹公式之间的新联系。通过谱论，推导出恒等、双曲、椭圆和抛物贡献的zeta函数的行列式表示，并通过Jacquet-Langlands对应关系，证明了不同黎曼曲面上自守Laplacian之间的行列式恒等式。

ABSTRACT

For a general Fuchsian group of the first kind with an arbitrary unitary representation we define zeta functions related to the contributions of the identity, hyperbolic, elliptic and parabolic conjugacy classes in Selberg's trace formula. We present Selberg's zeta function in terms of a regularized determinant of the automorphic Laplacian. We also present the zeta function for the identity contribution in terms of a regularized determinant of the Laplacian on the two dimensional sphere. We express the zeta functions for the elliptic and parabolic contributions in terms of certain regularized determinants of one dimensional Schroedinger operator for harmonic oscillator. We decompose the determinant of the automorphic Laplacian into a product of the determinants where each factor is a determinant representation of a zeta function related to Selberg's trace formula. Then we derive an identity connecting the determinants of the automorphic Laplacians on different Riemannian surfaces related to the arithmetical groups. Finally, by using the Jacquet-Langlands correspondence we connect the determinant of the automorphic Laplacian for the unit group of quaternions to the product of the determinants of the automorphic Laplacians for certain cogruence subgroups.

研究动机与目标

• 通过谱zeta正则化与解析延拓，基于Fuchsian群第一类的酉表示，为每类共轭类（恒等、双曲、椭圆、抛物）在Selberg迹公式中定义zeta函数。
• 将Selberg的zeta函数及每类共轭类的贡献表示为微分算子（Laplacian、Schrödinger算子）的正则化行列式。
• 将自守Laplacian的正则化行列式分解为与zeta函数相关的行列式之积。
• 为共轭的Fuchsian群推导行列式恒等式，并通过Jacquet-Langlands对应关系，建立四元数单位群与同余子群之间的联系。
• 将正则化行列式的框架扩展至具有连续谱和共振态的非紧致、有限体积黎曼曲面。

提出的方法

• 通过谱zeta正则化与解析延拓，基于迹公式贡献，为每类共轭类类型（I, H, E, P）定义zeta函数。
• 将恒等贡献的zeta函数表示为2-球面上Laplacian的正则化行列式。
• 通过谐振子的一维Schrödinger算子的正则化行列式表示椭圆与抛物贡献。
• 利用谱zeta函数与解析延拓，定义包含离散本征值与连续谱的自守Laplacian的正则化行列式。
• 在条带 |Im(r)| < 1/2 + ε 内应用Selberg迹公式，测试函数确保积分与级数的绝对收敛。
• 利用Jacquet-Langlands对应关系，将四元数代数单位群上自守Laplacian的行列式与同余子群上行列式的乘积联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Selberg迹公式中每类共轭类类型的zeta函数表示为微分算子的正则化行列式？
• RQ2 自守Laplacian的正则化行列式与恒等、双曲、椭圆、抛物共轭类贡献的分解之间存在何种关系？
• RQ3 共轭Fuchsian群的行列式恒等式如何从自守形式的谱论中导出？
• RQ4 Jacquet-Langlands对应关系如何将四元数代数单位群上自守Laplacian的行列式与同余子群上的行列式联系起来？
• RQ5 如何为具有连续谱和共振态的非紧致、有限体积黎曼曲面一致地定义正则化行列式？

主要发现

• 通过谱zeta正则化，Selberg zeta函数被表示为自守Laplacian的正则化行列式。
• 恒等贡献的zeta函数被表示为2-球面上Laplacian的正则化行列式。
• 椭圆与抛物贡献被表示为谐振子的一维Schrödinger算子的正则化行列式。
• 自守Laplacian的行列式可分解为与各类共轭类类型相关的zeta函数行列式之积。
• 对于余紧致群，迹公式简化为 ∑h(λₖ) = I + H + E，省略了连续谱与抛物项。
• Jacquet-Langlands对应关系导出了一个行列式恒等式，将四元数代数单位群上自守Laplacian的行列式与特定同余子群上行列式的乘积联系起来。