[论文解读] Zeta Functions and the Log-behavior of Combinatorial Sequences

William Y. C. Chen, Jeremy J. F. Guo+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文利用ζ函数和Γ函数研究组合序列的对数凸性，证明序列$\{\sqrt[n]{|B_{2n}|}\}$与$\{\sqrt[n]{B_n}\}$严格递增。通过涉及黎曼ζ函数、贝塞尔ζ函数及概率论中赫尔德不等式的解析方法，证实了孙关于这些序列单调性的猜想。

ABSTRACT

In this paper, we use the Riemann zeta function $ζ(x)$ and the Bessel zeta function $ζ_μ(x)$ to study the log-behavior of combinatorial sequences. We prove that $ζ(x)$ is log-convex for $x>1$. As a consequence, we deduce that the sequence $\{|B_{2n}|/(2n)!\}_{n\geq 1}$ is log-convex, where $B_n$ is the $n$-th Bernoulli number. We introduce the function $θ(x)=(2ζ(x)Γ(x+1))^{\frac{1}{x}}$, where $Γ(x)$ is the gamma function, and we show that $\log θ(x)$ is strictly increasing for $x\geq 6$. This confirms a conjecture of Sun stating that the sequence $\{\sqrt[n] {|B_{2n}}|\}_{n\geq 1}$ is strictly increasing. Amdeberhan, Moll and Vignat defined the numbers $a_n(μ)=2^{2n+1}(n+1)!(μ+1)_nζ_μ(2n)$ and conjectured that the sequence $\{a_n(μ)\}_{n\geq 1}$ is log-convex for $μ=0$ and $μ=1$. By proving that $ζ_μ(x)$ is log-convex for $x>1$ and $μ>-1$, we show that the sequence $\{a_n(μ)\}_{n\geq 1}$ is log-convex for any $μ>-1$. We introduce another function $θ_μ(x)$ involving $ζ_μ(x)$ and the gamma function $Γ(x)$ and we show that $\log θ_μ(x)$ is strictly increasing for $x>8e(μ+2)^2$. This implies that $\sqrt[n]{a_n(μ)} 4e(μ+2)^2$. Based on Dobinski's formula, we prove that $\sqrt[n]{B_n}

研究动机与目标

• 利用解析工具分析伯努利数与贝尔数等组合序列的对数行为。
• 证明当$x>1$与$\mu>-1$时，$\zeta(x)$与$\zeta_\mu(x)$的对数凸性。
• 证实孙猜想：序列$\{\sqrt[n]{|B_{2n}|}\}$严格递增。
• 将分析扩展至涉及贝塞尔ζ函数与贝尔数的广义序列。
• 建立$\sqrt[n]{B_n}$的递增性与概率论中赫尔德不等式之间的联系。

提出的方法

• 定义$\theta(x) = (2\zeta(x)\Gamma(x+1))^{1/x}$，并证明当$x \geq 6$时，$\log\theta(x)$严格递增，从而将其与$\sqrt[n]{|B_{2n}|}$关联。
• 引入$\theta_\mu(x) = \left(\frac{2}{\mu!}\Gamma(\frac{x}{2})\Gamma(\left(\frac{x}{2}+\mu+1\right)\zeta_\mu(x)\right)^{1/x}$以分析$\sqrt[n]{a_n(\mu)}$。
• 证明当$x > 1$时，$\zeta(x)$为对数凸函数，从而推出$\{|B_{2n}|/(2n)!\}$与$\{|B_{2n}|\}$的对数凸性。
• 利用多贝西公式将贝尔数表示为$B_n = B(n)$，其中$B(x) = \frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^x}{k!}$，并证明当$x > 1$时，$B(x)$为对数凸函数。
• 对参数为$\lambda=1$的泊松分布随机变量$Z$应用赫尔德不等式，即$P(Z=k) = \frac{1}{e}\frac{1}{k!}$，证明当$0 < x < y$时，有$E[Z^x]^{1/x} < E[Z^y]^{1/y}$，从而推出$B(x)^{1/x}$严格递增。
• 证明当$x \geq 1$时，$\log B(x)^{1/x}$严格递增，从而证实序列$\{\sqrt[n]{B_n}\}$的单调性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$n \geq 1$时，序列$\{\sqrt[n]{|B_{2n}|}\}$是否严格递增？
• RQ2 当$n > 4e(\mu+2)^2$且$\mu > -1$时，序列$\{\sqrt[n]{a_n(\mu)}\}$是否严格递增？
• RQ3 序列$\{\sqrt[n]{B_n}\}$是否如孙所猜想的那样严格递增？
• RQ4 函数$B(x)^{1/x}$是否满足当$0 < x < y$时，有$B(x)^{1/x} < B(y)^{1/y}$？
• RQ5 当$x \geq 1$时，$\log B(x)^{1/x}$是否为对数凹函数？

主要发现

• 当$x > 1$时，黎曼ζ函数$\zeta(x)$为对数凸函数，从而推出$\{|B_{2n}|/(2n)!\}$与$\{|B_{2n}|\}$的对数凸性。
• 函数$\theta(x) = (2\zeta(x)\Gamma(x+1))^{1/x}$满足当$x \geq 6$时，$\log\theta(x)$严格递增，从而证实序列$\{\sqrt[n]{|B_{2n}|}\}$严格递增。
• 当$x > 1$且$\mu > -1$时，贝塞尔ζ函数$\zeta_\mu(x)$为对数凸函数，从而推出对所有$\mu > -1$，序列$\{a_n(\mu)\}$为对数凸函数，证实了安德贝拉南、莫尔与维尼亚特的猜想。
• 对于$\theta_\mu(x)$，当$x > 8e(\mu+2)^2$时，$\log\theta_\mu(x)$严格递增，从而推出当$n > 4e(\mu+2)^2$时，有$\sqrt[n]{a_n(\mu)} < \sqrt[n+1]{a_{n+1}(\mu)}$，从而证实了孙对$\mu=0,1$的猜想。
• 利用多贝西公式，本文证明当$x \geq 1$时，$\log B(x)^{1/x}$严格递增，从而证实序列$\{\sqrt[n]{B_n}\}$严格递增。
• 序列$\sqrt[n]{B_n}$的单调性源于对泊松随机变量$Z$应用赫尔德不等式，即当$0 < x < y$时，有$E[Z^x]^{1/x} < E[Z^y]^{1/y}$，从而推出$B(x)^{1/x}$严格递增。