[论文解读] Zeta-functions of weight lattices of compact connected semisimple Lie groups

Yasushi Komori, Kohji Matsumoto+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文引入了紧致连通半单李群的权格点zeta函数，将Witten的体积公式推广至非单连通群。它建立了这些zeta函数在偶数整数点上的显式函数关系与体积公式，并提供了新的例子，其中奇偶性结果成立，扩展了根系zeta函数中特殊值的已知计算结果。

ABSTRACT

We define zeta-functions of weight lattices of compact connected semisimple Lie groups. If the group is simply-connected, these zeta-functions coincide with ordinary zeta-functions of root systems of associated Lie algebras. In this paper we consider the general connected (but not necessarily simply-connected) case, prove the explicit form of Witten's volume formulas for these zeta-functions, and further prove functional relations among them which include their volume formulas.

研究动机与目标

• 将Witten的zeta函数与体积公式推广至非单连通的紧致连通半单李群。
• 基于一般紧致连通半单李群的权格点，定义一个多变量zeta函数。
• 证明这些zeta函数在偶数整数点（s = 2k）处的显式体积公式。
• 建立包含求值公式并扩展奇偶性结果的zeta函数之间的函数关系。
• 提供A_r、B_r和C_r型（r ≤ 3）zeta函数的显式求值，包括奇数整数参数的情形。

提出的方法

• 将多变量zeta函数定义为根系zeta函数ζ_r(s; g)在群G的权格点上的部分和。
• 利用基本权与余根的结构，将zeta函数表示为内积⟨α∨, m₁λ₁ + ⋯ + mᵣλᵣ⟩的形式。
• 推导出s = 2k时的显式体积公式（定理3.2），其中若α与β长度相同，则kα = kβ。
• 应用广义周期Bernoulli函数，将特殊值表示为有理系数与π的幂的乘积。
• 建立A₂与C₂型zeta函数之间的函数关系，以在奇数整数点求值。
• 通过显式计算与符号运算，对低秩情形（A₂, B₂, C₂, A₃, B₃, C₃）进行zeta函数的求值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Witten的zeta函数推广至非单连通的紧致连通半单李群？
• RQ2 定义在一般紧致连通半单李群的权格点上的zeta函数，其显式体积公式为何？
• RQ3 能否建立这些zeta函数之间的函数关系，使其将已知求值公式扩展至奇数整数点？
• RQ4 有哪些新的zeta函数例子表现出奇偶性结果，超越单连通情形？
• RQ5 A_r、B_r与C_r型zeta函数在偶数与奇数整数点上的行为如何？其显式值为何？

主要发现

• 本文证明了s = 2k时zeta函数的显式体积公式（定理3.2），其中相同长度的根满足kα = kβ，且其值可表示为π²ᵏⁿ的有理倍数。
• 对于A₂、B₂（≡ C₂）、A₃、B₃与C₃，本文显式计算了zeta函数，包括奇数整数参数的情形。
• A₂与C₂型的函数关系使得在部分sα为奇数的点上可求值，从而得到超越偶数整数情形的新显式公式。
• A₂型zeta函数可表示为{y₁}、{−2y₁ + y₂}与{−y₁ + y₂}的多项式，其有理系数最高至12次。
• C₂型zeta函数类似地以{2y₁ − y₂}、{−y₁ + y₂}及其幂表示，有理系数最高至12次。
• 结果包括新的奇偶性结果成立的例子，扩展了已知的求值结果，如sl(n)与A₁情形下的Riemann zeta函数。