[论文解读] Zeta-regularized Lattice Field Theory with Lorentzian background metrics

Tobias Hartung, Karl Jansen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Cosmology and Gravitation Theories被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于具有洛伦兹（闵可夫斯基）背景度规的格点场论的zeta正则化框架，克服了传统方法对欧氏化的要求。通过利用傅里叶积分算子zeta函数对路径积分进行规范处理，该方法实现了闵可夫斯基时空中的非微扰计算，并在谐振子系统上通过解析与数值验证，表明在多种规范选择下结果一致，且经典极限与正则化参数无关。

ABSTRACT

Lattice field theory is a very powerful tool to study Feynman's path integral non-perturbatively. However, it usually requires Euclidean background metrics to be well-defined. On the other hand, a recently developed regularization scheme based on Fourier integral operator $\zeta$-functions can treat Feynman's path integral non-pertubatively in Lorentzian background metrics. In this article, we formally $\zeta$-regularize lattice theories with Lorentzian backgrounds and identify conditions for the Fourier integral operator $\zeta$-function regularization to be applicable. Furthermore, we show that the classical limit of the $\zeta$-regularized theory is independent of the regularization. Finally, we consider the harmonic oscillator as an explicit example. We discuss multiple options for the regularization and analytically show that they all reproduce the correct ground state energy on the lattice and in the continuum limit. Additionally, we solve the harmonic oscillator on the lattice in Minkowski background numerically.

研究动机与目标

• 开发一种在洛伦兹背景度规上格点场论中数学自洽的zeta正则化方案，突破传统欧氏形式的限制。
• 确定可用于正则化闵可夫斯基时空中格点路径积分的傅里叶积分算子zeta函数的条件。
• 证明zeta正则化理论的类经典极限与正则化参数z无关，确保物理一致性。
• 以谐振子为测试案例，通过解析与数值方法验证该框架，确认在格点极限与连续极限下均能正确得到基态能量。
• 比较不同规范族——时间上的局部与全局规范、绝对可积与分布正则化规范——在模拟中的计算与分析可行性。

提出的方法

• 使用由规范函数g(z)或gΔ(z)构造的全纯算子族，对格点路径积分进行形式zeta正则化。
• 通过将τ(ϕ(z)) = Tr(ϕ(z))解析延拓至z=0，应用算子zeta函数在非迹类算子上定义迹。
• 构建作为Hörmander类中的傅里叶积分算子或齐次符号的规范转移矩阵与时间演化算子，以保证正则性。
• 利用拉普拉斯变换对分布正则化规范族进行处理，以在计算zeta正则化期望值时获得解析捷径。
• 通过蒙特卡罗类采样在格点上实现zeta正则化路径积分的数值实现，对绝对可积规范采用Rτ上的求积，对分布规范采用球面上的求积。
• 通过拟合模拟数据，将复z平面上的结果外推至z=0，特别关注处理z依赖函数以确保收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 zeta正则化能否一致地应用于具有洛伦兹背景度规的格点场论，从而避免使用Wick旋转？
• RQ2 规范族g(z)或gΔ(z)需满足何种条件，才能确保所得zeta正则化理论是良好定义且具有物理意义的？
• RQ3 zeta正则化格点理论的类经典极限是否如物理理论所预期的那样，与正则化参数z无关？
• RQ4 多种规范选择——局部与全局、可积与分布——是否产生等价的物理结果，如正确的基态能量？
• RQ5 在数值模拟中，绝对可积与分布正则化规范族之间在计算上的权衡如何？

主要发现

• 在四种测试规范族——局部/绝对可积、局部/分布、全局/绝对可积、全局/分布——下，谐振子在格点上的基态能量结果一致，证实了物理可观测量的规范无关性。
• zeta正则化格点理论正确再现了连续极限下的基态能量，验证了其与标准量子力学结果的一致性。
• zeta正则化理论的类经典极限与正则化参数z无关，因为在经典极限下由规范引入的虚部会消失。
• 分布正则化规范族可通过拉普拉斯变换实现解析简化，但需要在流形（如球面）上进行高维数值求积。
• 绝对可积规范族需在高维向量空间Rτ上进行求积，更适用于先进数值积分技术，尽管其对z的函数依赖更复杂。
• 数值研究表明，尽管分布规范族提供了计算捷径，但绝对可积规范族在模拟中可能更具实用性，因其有更成熟的积分算法支持，尽管z=0处的外推更具挑战性。