[论文解读] Zhu's algebras, $C_2$-algebras and abelian radicals

Boris Feigin, Evgeny Feigin+1 more|ArXiv.org|Jul 23, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文证明了在整数水平的类型 $A$ 顶点算子代数中，Zhu 代数与 $C_2$-代数具有相同的维数，并完全计算了 $C_2$-代数作为 $\frak{gl}_n$-模的分次分解，从而证实了 Gaberdiel-Gannon 猜想。关键工具是交换根基理论以及涉及对称幂基本表示与高权模的表示论同构。

ABSTRACT

This paper consists of three parts. In the first part we prove that Zhu's and $C_2$-algebras in type $A$ have the same dimensions. In the second part we compute the graded decomposition of the $C_2$-algebras in type $A$, thus proving the Gaberdiel-Gannon's conjecture. Our main tool is the theory of abelian radicals, which we develop in the third part.

研究动机与目标

• 建立与仿射 Kac-Moody 代数类型 $A$ 在整数水平相关的顶点算子代数中，Zhu 代数与 $C_2$-代数维数相等的结论。
• 计算 $C_2$-代数 $A_{[2]}(\frak{sl}_n;k)$ 作为 $\frak{gl}_n$-模的分次分解，从而解决 Gaberdiel-Gannon 猜想。
• 发展并应用抛物子代数与 Levi 分解背景下交换根基理论，以分析 $C_2$-代数的结构。
• 在表示论框架下建立不可约高权模 $V(k\tilde{\rho}_n)$ 与 $C_2$-代数分量的直和之间的同构关系，从而实现对分次分量的计算。

提出的方法

• 通过中间基本权 $\tilde{ρ}_n$ 的嵌入 $\frak{sl}_n \hookrightarrow \frak{gl}_{2n}$，构造 $\frak{sl}_n$-模之间 $V(k\tilde{\rho}_n)$ 与直和 $\bigoplus_{i=0}^k A_{[2]}(\frak{sl}_n;i)$ 的同构。
• 利用 $\frak{gl}_N$ 中 Levi 子代数 $\frak{l} = \frak{gl}_i \oplus \frak{gl}_{N-i}$ 的结构，分析 $S^{k+1}(\mathbb{C}^{i*}) \otimes S^{k+1}(\mathbb{C}^{N-i})$ 的 $\frak{l}$-模结构，该结构定义了 $C_2$-代数商中的理想。
• 应用 Littlewood 分支规则，将 $\frak{gl}_N$-模 $V_N((k^i))$ 分解为作为 $\frak{gl}_i \oplus \frak{gl}_{N-i}$-模的不可约分量 $V_i(\lambda)^* \otimes V_{N-i}(\lambda)$。
• 利用同构关系 $V_N((k^i)) \otimes \mathbb{C}_{-k\omega_i} \simeq S(\mathbb{C}^{i*} \otimes \mathbb{C}^{N-i}) / \langle S^{k+1}(\mathbb{C}^{i*}) \otimes S^{k+1}(\mathbb{C}^{N-i}) \rangle$，将 $C_2$-代数实现为对称代数的商。
• 利用球面化品种准则：$L$ 在 $\frak{m}^-$ 上的作用是无重数的，当且仅当其在 unipotent 根 $P^{-,u}$ 上的作用是球面的，这等价于 $G/P$ 上的作用是球面的。
• 利用最大抛物子群中 $L$-作用为球面的分类，识别出 $\frak{gl}_n$-模结构 $A_{[2]}^m(\frak{sl}_n;k)$ 为无重数的情形，从而实现显式分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 Zhu 代数与 $C_2$-代数在整数水平的类型 $A$ 顶点算子代数中是否维数相等？
• RQ2 $C_2$-代数 $A_{[2]}(\frak{sl}_n;k)$ 作为 $\frak{gl}_n$-模的显式分次分解是什么？
• RQ3 Gaberdiel-Gannon 关于类型 $A$ 中 $C_2$-代数结构的猜想是否成立？若成立，其分量的精确模论描述是什么？
• RQ4 如何利用交换根基理论与球面化品种理论分析仿射李代数表示中 $C_2$-代数的结构？
• RQ5 $\frak{gl}_{2n}$ 的不可约表示 $V(k\tilde{\rho}_n)$ 与直和 $\bigoplus_{i=0}^k A_{[2]}(\frak{sl}_n;i)$ 之间有何关系？

主要发现

• 对所有 $n$ 与 $k$，Zhu 代数 $A(\mathcal{V}(\frak{sl}_n;k))$ 的维数等于 $C_2$-代数 $A_{[2]}(\mathcal{V}(\frak{sl}_n;k))$ 的维数，从而在类型 $A$ 中确认了维数相等性。
• $C_2$-代数 $A_{[2]}(\frak{sl}_n;k)$ 作为 $\frak{gl}_n$-模同构于 $\bigoplus_{i=0}^k A_{[2]}(\frak{sl}_n;i)$，其分次分量 $A_{[2]}^m(\frak{sl}_n;k)$ 同构于 $\bigoplus_{\lambda} V_i(\lambda)^* \otimes V_{n-i}(\lambda)$，其中 $\lambda$ 遍历满足 $k \geq \lambda_1$ 的分拆。
• Gaberdiel-Gannon 猜想得到证实：$C_2$-代数 $A_{[2]}(\frak{sl}_n;k)$ 具有分次分解，其不可约 $\frak{gl}_n$-模分量由满足 $\lambda_1 \leq k$ 的分拆 $\lambda$ 索引，且分解为无重数形式。
• $\frak{gl}_{2n}$ 的表示 $V(k\tilde{\rho}_n)$ 作为 $\frak{sl}_n$-模同构于 $\bigoplus_{i=0}^k A_{[2]}(\frak{sl}_n;i)$，从而为 $C_2$-代数分量提供了表示论实现。
• $\frak{gl}_n$-模结构 $A_{[2]}^m(\frak{sl}_n;k)$ 在 $n$ 较小时为无重数，且球面化品种准则确认：$L$ 在 $\frak{m}^-$ 上的作用为无重数，恰好发生在类型 $A$ 情形。
• 交换根基理论与球面化品种理论为分析 $C_2$-代数提供了统一框架，关键洞见在于 $C_2$-代数作为对称代数模对称幂理想的的商而出现，其结构由 $GL_N$ 的分支规则所控制。