[论文解读] "Zoology" of non-invertible duality defects: the view from class $\mathcal{S}$

Andrea Antinucci, Christian Copetti+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2022

Algebraic structures and combinatorial models被引用 13

一句话总结

本文研究了通过在亏格为 $g$ 的黎曼曲面上对 6d $\nabla=(2,0)$ 理论进行维度约化而构造的 4d $\nabla=2$ 类 $\mathcal{S}$ 理论中的非可逆对偶性缺陷。该文引入了一种非可逆对称性的新颖“秩”概念，使得可通过拓扑操作或 5d TQFT 描述高效计算融合代数，且为 $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}_N)_T$-对称缺陷显式推导出融合规则。

ABSTRACT

We study generalizations of the non-invertible duality defects present in $\mathcal{N} = 4$ SU(N) SYM by studying theories with larger duality groups. We focus on 4d $\mathcal{N} = 2$ theories of class $\mathcal{S}$ obtained by the dimensional reduction of the 6d $\mathcal{N} = (2, 0)$ theory of $A_{N-1}$ type on a Riemann surface $Σ_g$ without punctures. We discuss their non-invertible duality symmetries and provide two ways to compute their fusion algebra: either using discrete topological manipulations or a 5d TQFT description. We also introduce the concept of "rank" of a non-invertible duality symmetry and show how it can be used to (almost) completely fix the fusion algebra with little computational effort.

研究动机与目标

• 对具有超越 $\mathbb{Z}_N$ 的更大对偶群的 4d $\nabla=2$ 类 $\mathcal{S}$ 理论中的非可逆对偶性缺陷进行分类。
• 填补 $\nabla=4$ SYM 和类 $\mathcal{S}$ 理论中非可逆缺陷完整融合代数计算的空白。
• 引入并形式化非可逆对偶对称性中“秩”的概念，作为高效重构融合规则的工具。
• 提供两种互补的计算框架：离散拓扑操作与 5d 对称性 TQFT 描述。
• 通过 $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}_N)_T$ 中心理论扩展对偶缺陷的构造，从 $\mathbb{Z}_N$ 推广至 $(\mathbb{Z}_N)^g$-对称性。

提出的方法

• 通过组合大微分同胚 $M \in \mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}_N)$ 与恢复对偶框架的拓扑操作 $\Phi_{\mathcal{L}}^M$ 构造对偶缺陷。
• 利用中心扩张 $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}_N)_T$ 描述非可逆缺陷的融合代数。
• 对 $H_1(\Sigma_g,\mathbb{Z}_N)$ 中的线性算符与拉格朗日子格应用离散拓扑操作，以计算缺陷作用。
• 利用 5d TQFT 描述计算缺陷融合，其中体相对称性 TFT 编码缺陷结构。
• 将非可逆对称性的“秩”定义为所需最小生成元数，从而实现融合规则的快速重构。
• 利用 $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}_N)_T$ 在拉格朗日子格上的作用，对全局形式与对偶缺陷进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有大对偶群的类 $\mathcal{S}$ 理论中，如何高效计算非可逆对偶缺陷的融合代数？
• RQ2 非可逆对称性的“秩”在约束其融合代数结构方面起什么作用？
• RQ3 离散拓扑操作与 5d TQFT 描述在计算缺陷融合规则方面有何关联？
• RQ4 “秩”的概念是否可用于几乎完全确定融合代数，且计算量极小？
• RQ5 具有 $(\mathbb{Z}_N)^g$ 对称性的 $\nabla=2$ 类 $\mathcal{S}$ 理论中，非可逆缺陷的融合规则的显式结构是什么？

主要发现

• 类 $\mathcal{S}$ 理论中非可逆对偶缺陷的融合代数完全由 $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}_N)_T$ 在 $H_1(\Sigma_g,\mathbb{Z}_N)$ 中的拉格朗日子格上的作用决定。
• 非可逆对称性中“秩”的概念使得以极小计算量实现融合代数的（几乎）完全重构成为可能。
• 对于亏格 $g=2$，本文提供了显式的融合表，表明秩为 1 和 2 的缺陷可一致分类，且 $\mathcal{N}^{1,+}$、$\mathcal{N}^{1,-}$ 与 $\mathcal{N}^{2,-}$ 类型在融合结果中出现。
• 5d 对称性 TQFT 描述为拓扑操作提供了对偶框架，其中体缺陷通过规范化实现对偶缺陷。
• 缺陷与其逆的融合产生凝聚缺陷 $\mathcal{C}^G$，确认了该对称性的非可逆性质。
• 本文构建了 $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}_N)_T$-对称理论的对偶缺陷，将先前从 $\mathbb{Z}_N$ 推广至更高秩阿贝尔群的结果。