[论文解读] ZX-Calculus and Extended Hypergraph Rewriting Systems I: A Multiway Approach to Categorical Quantum Information Theory

Jonathan Gorard, Manojna Namuduri+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2020

Quantum Mechanics and Applications参考文献 52被引用 8

一句话总结

本文建立了量子力学的图示语言——ZX演算与Wolfram模型的多路系统之间的形式对应关系，证明了ZX图的重写规则可以嵌入Wolfram模型的超图重写中。它证明了Wolfram模型的多路图与分支图自然携带与ZX图复合兼容的张量结构，通过适配范畴与双推导重写，将范畴量子力学与规则化计算统一起来。

ABSTRACT

Categorical quantum mechanics and the Wolfram model offer distinct but complementary approaches to studying the relationship between diagrammatic rewriting systems over combinatorial structures and the foundations of physics; the objective of the present article is to begin elucidating the formal correspondence between the two methodologies in the context of the ZX-calculus formalism of Coecke and Duncan for reasoning diagrammatically about linear maps between qubits. After briefly summarizing the relevant formalisms, and presenting a categorical formulation of the Wolfram model in terms of adhesive categories and double-pushout rewriting systems, we illustrate how the diagrammatic rewritings of the ZX-calculus can be embedded and realized within the broader context of Wolfram model multiway systems, and illustrate some of the capabilities of the software framework (ZXMultiwaySystem) that we have developed specifically for this purpose. Finally, we present a proof (along with an explicitly computed example) based on the methods of Dixon and Kissinger that the multiway evolution graphs and branchial graphs of the Wolfram model are naturally endowed with a monoidal structure based on rulial composition that is, furthermore, compatible with the monoidal product of ZX-diagrams.

研究动机与目标

• 建立范畴量子力学（通过ZX演算）与Wolfram模型超图重写系统之间的正式桥梁。
• 证明ZX图重写规则可通过适配范畴与双推导重写，嵌入Wolfram模型的多路演化系统中。
• 表明Wolfram模型的多路图与分支图天然支持与ZX图复合兼容的张量结构。
• 开发并验证ZXMultiwaySystem软件框架，用于模拟与分析这些嵌入。
• 通过选择性适配规则的有向双胞胎范畴，将规则化多路系统与量子过程的范畴结构统一起来。

提出的方法

• 使用适配范畴与双推导（DPO）重写系统，形式化Wolfram模型，以建模超图变换。
• 通过符号重写规则，将ZX图生成元（蜘蛛及其关系）嵌入Wolfram模型的超图结构中。
• 通过在初始超图状态上应用所有可能的规则，构建多路演化图，以捕捉所有推导路径。
• 将分支图定义为多路分支之间纠缠的结构，类比于量子态叠加。
• 证明Wolfram模型的规则化多路系统可通过规则化复合支持张量积，其结构同构于ZX演算范畴中的张量积。
• 使用选择性适配规则的有向双胞胎范畴，形式化多路系统的组合结构及其与ZX图张量积的兼容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 ZX图重写能否在Wolfram模型的多路重写框架中被形式化嵌入？
• RQ2 Wolfram模型的多路演化图是否天然支持与ZX演算同构的张量结构？
• RQ3 Wolfram模型中的分支图如何对应于ZX演算中的量子态叠加与纠缠？
• RQ4 规则化多路系统与ZX图的自伴紧闭范畴之间存在何种范畴关系？
• RQ5 ZXMultiwaySystem软件框架能否准确模拟并验证Wolfram模型多路系统与ZX图之间的张量兼容性？

主要发现

• Wolfram模型的多路演化图通过规则化复合自然地赋予张量结构，该结构与ZX图的张量积兼容。
• ZX图重写（如蜘蛛融合与π相位跃迁）可忠实地嵌入并模拟于Wolfram模型的超图重写系统中。
• Wolfram模型的分支图对应于量子态叠加，其结构反映了ZX图中的纠缠模式。
• 选择性适配规则的有向双胞胎范畴提供了一个范畴框架，将规则化多路系统与ZX图的自伴紧闭范畴统一起来。
• ZXMultiwaySystem软件框架成功计算并可视化了多路图与分支图，实现了张量兼容性的显式验证。
• 本文提供了一个具体实例：ZX图变换（如贝尔态的转换）在Wolfram模型多路系统中被实现为一条路径，确认了形式对应关系。