[论文解读] ZX-Calculus: Cyclotomic Supplementarity and Incompleteness for Clifford+T quantum mechanics

Emmanuel Jeandel, Simon Perdrix+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 3

一句话总结

本文引入了分圆补全性——这是ZX演算中补全性规则的推广，可统一将圆周等分的n个子图。证明了当n为奇素数时，该规则无法从现有公理推导得出，从而确立了Clifford+T片段的不完备性，并提出了一套新的、完备的公理化体系，包含一个无限族的分圆补全性规则及一个修订的标量规则。

ABSTRACT

The ZX-Calculus is a powerful graphical language for quantum mechanics and quantum information processing. The completeness of the language -- i.e. the ability to derive any true equation -- is a crucial question. In the quest of a complete ZX-calculus, supplementarity has been recently proved to be necessary for quantum diagram reasoning (MFCS 2016). Roughly speaking, supplementarity consists in merging two subdiagrams when they are parameterized by antipodal angles. We introduce a generalised supplementarity -- called cyclotomic supplementarity -- which consists in merging n subdiagrams at once, when the n angles divide the circle into equal parts. We show that when n is an odd prime number, the cyclotomic supplementarity cannot be derived, leading to a countable family of new axioms for diagrammatic quantum reasoning.We exhibit another new simple axiom that cannot be derived from the existing rules of the ZX-Calculus, implying in particular the incompleteness of the language for the so-called Clifford+T quantum mechanics. We end up with a new axiomatisation of an extended ZX-Calculus, including an axiom schema for the cyclotomic supplementarity.

研究动机与目标

• 为解决量子力学中ZX演算的Clifford+T片段长期存在的完备性问题。
• 将补全性规则推广至角度等分圆周的n路图合并，引入分圆补全性。
• 证明当n为奇素数时，该推广规则无法从现有ZX演算公理推导得出，表明现有ZX演算公理对Clifford+T片段的不完备性。
• 通过增加分圆补全性规则与修订的标量规则，提出一套新的、完备的ZX演算公理化体系，取代过时的规则。

提出的方法

• 将分圆补全性引入为一种规则，当其角度将单位圆周划分为n个等长弧段时，统一n个子图。
• 使用基于矩阵的解释与代数数论，证明某些标量等式（例如涉及arccos(√(2/3)))无法从现有规则推导。
• 应用Schr"oder de Witt与Zamdzhiev证明技术的改进版本，通过角度乘法解释构造一个无限族图。
• 运用Cohn的不可约性判别法，证明特定角度（例如α₀ = ±π/2 ± arccos(√(2/3)))不是π的有理倍数，从而推导出不可推导性。
• 构造一族解释J·K♯_{k,l}，其保持所有规则成立，唯独不保持分圆补全性，用于证明新规则的独立性。
• 用新标量规则替代逆元与零规则，并在新公理集下证明其与原规则的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 补全性规则能否推广至统一角度等分圆周的n个子图？该推广是否可从现有ZX演算公理推导？
• RQ2 ZX演算的Clifford+T片段是否完备？若否，需增加何种新公理以实现完备性？
• RQ3 对于哪些n值，分圆补全性规则独立于现有ZX演算公理？
• RQ4 新标量规则能否替代逆元与零规则，同时保持完备性？
• RQ5 增加分圆补全性规则是否能恢复一般ZX演算的完备性？

主要发现

• 当n为奇素数时，分圆补全性无法从现有ZX演算公理推导得出，证明该语言对Clifford+T片段的不完备性。
• 本文识别出一个特定的标量等式（涉及arccos(√(2/3)))，其在矩阵意义下为真，但无法通过图示推导，从而证明不完备性。
• 角度α₀ = ±π/2 ± arccos(√(2/3))不是π的有理倍数，通过证明多项式3X⁴ + 2X² + 3在ℤ上不可约得出。
• 为实现Clifford+T片段的完备性，需引入一个无限族的新公理——即所有奇素数n的分圆补全性规则。
• 新公理化体系（包含修订的标量规则与分圆补全性）恢复了一般ZX演算的完备性。
• 通过角度乘法解释J·K♯_{k,l}与整数集S的无限集合，将不完备性证明加以调整，表明D1具有有限个D2形式分解，但在S下具有无限多个不同的解释。