[论文解读] 3d QHE and elasticity tetrads

Jaakko Nissinen, G. E. Volovik|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2018

Topological Materials and Phenomena被引用 1

一句话总结

本文提出了一种三维晶体拓扑绝缘体的(3+1)维混合规范-引力斯科林理论，其中弹性四维标架场——晶体U(1)规范相位场的梯度——与电磁U(1)规范场耦合。该理论预测了晶格形变引起的量子化霍尔电导响应，该响应受弱拓扑不变量保护，并将Callan-Harvey异常流入机制推广至位错系统，当四维标架场进入引力理论时，物理参数变为无量纲。

ABSTRACT

For two-dimensional topological insulators, the integer and intrinsic (without external magnetic field) quantum Hall effect is described by the gauge anomalous (2+1)-dimensional [2+1d] Chern-Simons (CS) response for the background gauge potential of the electromagnetic U(1) field. The Hall conductance is given by the quantized prefactor of the CS term, which is a momentum-space topological invariant. Here, we show that three-dimensional crystalline topological insulators with no other symmetries are described by a topological (3+1)-dimensional [3+1d] mixed CS term. In addition to the electromagnetic U(1) gauge field, this term contains elasticity tetrad fields $E^{ a}_{\mu}({\bf r},t) = \partial_{\mu}X^a(\mathbf{r},t)$ which are gradients of crystalline U(1) phase fields $X^a(\mathbf{r},t)$ and describe the deformations of the crystal. For a crystal in three spatial dimensions $a=1,2,3$ and the mixed axial-gravitational response contains three parameters protected by crystalline symmetries: the weak momentum-space topological invariants. The response of the Hall conductance to the deformations of the crystal is quantized in terms of these invariants. In the presence of dislocations, the anomalous 3+1d CS term describes the Callan-Harvey anomaly inflow mechanism. The response can be extended to all odd spatial dimensions. The elasticity tetrads, being the gradients of the lattice U(1) fields, have canonical dimension of inverse length. Similarly, if such tetrad fields enter general relativity, the metric becomes dimensionful, but the physical parameters, such as Newton's constant, the cosmological constant, and masses of particles, become dimensionless.

研究动机与目标

• 通过为三维晶体拓扑绝缘体构建一个拓扑响应理论，将量子霍尔效应的理解从二维推广至三维。
• 阐明弹性四维标架场（定义为晶体U(1)相位场的梯度）在介导混合规范-引力响应中的作用。
• 表明霍尔电导对晶格形变的响应通过受晶体对称性保护的弱动量空间拓扑不变量而实现量子化。
• 将Callan-Harvey异常流入机制推广至具有位错的三维系统。
• 探讨弹性四维标架引入引力理论后的维度效应，表明物理常数在四维标架引入后变为无量纲。

提出的方法

• 构建一个(3+1)维混合规范-斯科林项，耦合电磁U(1)规范场与弹性四维标架场 $E^{a}_{\mu} = \partial_{\mu}X^a$，其中 $X^a$ 为晶体相位场。
• 利用弹性四维标架的规范维度（长度的倒数），推导出在引入四维标架时广义相对论中物理参数的维度。
• 识别出三个存在于动量空间中的弱拓扑不变量，它们保护晶格形变下的量子化霍尔响应。
• 将Callan-Harvey异常流入机制应用于存在位错时的响应描述。
• 将形式化推广至所有奇数空间维度，推广拓扑响应结构。
• 分析牛顿常数、宇宙学常数和粒子质量的含义，表明在四维标架形式化下它们变为无量纲。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过包含晶格形变的拓扑响应理论描述三维晶体拓扑绝缘体中的量子霍尔效应？
• RQ2 弹性四维标架场（定义为晶体U(1)相位场的梯度）在介导混合规范-引力响应中起什么作用？
• RQ3 霍尔电导及其对晶格形变的响应如何通过动量空间中的弱拓扑不变量实现量子化？
• RQ4 Callan-Harvey异常流入机制在具有位错的三维晶体拓扑绝缘体中如何体现？
• RQ5 将弹性四维标架引入广义相对论后，对基本物理常数的维度有何影响？

主要发现

• 三维晶体拓扑绝缘体的响应由一个包含电磁U(1)规范场和弹性四维标架场 $E^{a}_{\mu} = \partial_{\mu}X^a$ 的(3+1)维混合规范-斯科林项所支配。
• 晶格形变引起的霍尔电导响应是量子化的，且受由晶体对称性产生的三个弱动量空间拓扑不变量保护。
• 位错的存在实现了Callan-Harvey异常流入机制，将体响应与表面模式联系起来。
• 弹性四维标架具有规范维度（长度的倒数），当引入广义相对论时，导致牛顿常数和粒子质量等物理参数变为无量纲。
• 该形式化可推广至所有奇数空间维度，保持响应的拓扑结构不变。
• 有量纲的度规在四维标架场中成为涌现的，基本常数在该形式化下获得无量纲值。