[论文解读] A Calabi-Yau algebra with $E_6$ symmetry and the Clebsch-Gordan series of $sl(3)$

Nicolas Crampé, Loïc Poulain d’Andecy+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用 9

一句话总结

本文引入了一个具有 $E_6$ 对称性的三生成元 Calabi-Yau 代数 $τ$，并证明其通过满同态映射到 $U(sl(3))^{⊗ 2}$ 中 $U(sl(3))$ 的对角嵌入的中心化子 $Z_2(sl(3))$。关键结果是：当该代数在 Clebsch-Gordan 系列的三个最高权表示上进行特化时，其关系式与中心元表现出明显的 $E_6$ Weyl 群对称性，且系数与不变量可表示为 $E_6$ 基本多项式的函数。

ABSTRACT

Building on classical invariant theory, it is observed that the polarised traces generate the centraliser $Z_L(sl(N))$ of the diagonal embedding of $U(sl(N))$ in $U(sl(N))^{\otimes L}$. The paper then focuses on $sl(3)$ and the case $L=2$. A Calabi--Yau algebra $\mathcal{A}$ with three generators is introduced and explicitly shown to possess a PBW basis and a certain central element. It is seen that $Z_2(sl(3))$ is isomorphic to a quotient of the algebra $\mathcal{A}$ by a single explicit relation fixing the value of the central element. Upon concentrating on three highest weight representations occurring in the Clebsch--Gordan series of $U(sl(3))$, a specialisation of $\mathcal{A}$ arises, involving the pairs of numbers characterising the three highest weights. In this realisation in $U(sl(3))\otimes U(sl(3))$, the coefficients in the defining relations and the value of the central element have degrees that correspond to the fundamental degrees of the Weyl group of type $E_6$. With the correct association between the six parameters of the representations and some roots of $E_6$, the symmetry under the full Weyl group of type $E_6$ is made manifest. The coefficients of the relations and the value of the central element in the realisation in $U(sl(3))\otimes U(sl(3))$ are expressed in terms of the fundamental invariant polynomials associated to $E_6$. It is also shown that the relations of the algebra $\mathcal{A}$ can be realised with Heun type operators in the Racah or Hahn algebra.

研究动机与目标

• 构造一个具有三个生成元的 Calabi-Yau 代数 $τ^{gen}$，以捕捉 $U(sl(3))$ 在 $U(sl(3))^{⊗ 2}$ 中的中心化子的结构。
• 证明中心化子 $Z_2(sl(3))$ 同构于该代数模一个固定中心元的单个关系的商代数。
• 证明该代数在 Clebsch-Gordan 系列中三个最高权表示上的特化表现出 $E_6$ Weyl 群对称性。
• 将定义关系中的系数与中心元表示为 $E_6$ 的基本不变多项式。
• 在 Racah 或 Hahn 代数框架下，利用 Heun 型算子实现该代数的关系。

提出的方法

• 通过 $U(sl(3))^{⊗ 2}$ 中的极化迹定义代数 $τ^{gen}$ 的 PBW 基与中心元，其关系由此导出。
• 中心化子 $Z_2(sl(3))$ 被识别为 $τ$ 在满同态下的像，其核由一个固定中心元值的单个关系定义。
• 通过三个 $sl(3)$ 的不可约表示构造 $Z_2(sl(3))$ 的最高权特化，其参数与 $E_6$ 的根相关联。
• $E_6$ 的 Weyl 群通过反射表示作用于最高权的参数，使对称性显而易见。
• $τ^{gen}$ 的定义关系在 Heun–Racah 算子中实现，附录 A 中提供了显式参数化。
• 关系中的系数与中心元使用 $E_6$ 的基本不变多项式表示，其次数与 $E_6$ 的基本不变量的次数一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个具有 $E_6$ 对称性的 Calabi-Yau 代数，以捕捉 $U(sl(3))$ 在 $U(sl(3))^{⊗ 2}$ 中的中心化子的结构？
• RQ2 该代数定义关系中的系数及其中心元的取值是否对应于 $E_6$ Weyl 群的基本次数？
• RQ3 是否存在一个在 $U(sl(3)) ⊗ U(sl(3))$ 中的实现，使得通过最高权参数化，$E_6$ 对称性变得明显？
• RQ4 该代数的关系能否在 Racah 或 Hahn 代数框架下，通过 Heun 型算子实现？
• RQ5 系数与中心元能否用 $E_6$ 的基本不变多项式表示？

主要发现

• 具有三个生成元的 Calabi-Yau 代数 $τ$ 允许 PBW 基与中心元，并满射到 $U(sl(3))^{⊗ 2}$ 中 $U(sl(3))$ 的对角嵌入的中心化子 $Z_2(sl(3))$。
• $τ$ 到 $Z_2(sl(3))$ 的满射的核由一个关系生成，该关系将中心元固定为特定值。
• 当在 Clebsch-Gordan 系列的三个最高权表示上特化时，代数 $τ$ 对 $E_6$ 类型的完整 Weyl 群不变。
• 最高权的参数被识别为 $E_6$ 的根，$E_6$ 对称性通过标准反射表示作用于其上。
• 定义关系中的系数与中心元的取值次数与 $E_6$ Weyl 群的基本次数一致：2, 5, 6, 8, 9, 12。
• $τ^{gen}$ 的关系可通过 Heun–Racah 算子实现，附录 A 中以 $z_i$、$e_i$ 与 $d$ 的形式提供了显式参数化。