[论文解读] A characterization of finite quotients of Abelian varieties

Steven Lu, Behrouz Taji|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用 9

一句话总结

该论文通过 klt 代数簇类中轨道丛陈类的消失条件，刻画了阿贝尔簇关于在余维数一上自由的有限群作用的有限商。它证明了在这些簇上，一阶与二阶轨道丛陈类为零的可微层在光滑部分上是局部自由且平坦的，并通过基本群的酉表示扩展到有限伽罗瓦覆盖上的平坦、局部自由层——将唐纳森-乌伦贝克-亚乌-辛普森对应关系推广至奇异情形。

ABSTRACT

In this paper we prove a characterization of quotients of Abelian varieties by the actions of finite groups that are free in codimension-one via some vanishing conditions on the orbifold Chern classes. The characterization is given among a class of varieties with mild singularities that are more general than quotient singularities, namely among the class of klt varieties. Furthermore we show that over a projective klt variety, any semistable reflexive sheaf with vanishing orbifold Chern classes can be obtained as the invariant part of a locally-free sheaf on a finite Galois cover whose associated vector bundle is flat.

研究动机与目标

• 通过轨道丛陈类的消失条件，刻画阿贝尔簇关于在余维数一上自由的有限群作用的有限商。
• 将经典稳定向量丛与酉表示之间的对应关系推广至具有 klt 奇点的奇异代数簇。
• 证明在这些商上，一阶与二阶轨道丛陈类为零的可微层在光滑部分上是局部自由且平坦的，并可扩展至有限伽罗瓦覆盖上的平坦层。
• 将唐纳森-乌伦贝克-亚乌-辛普森对应关系推广至超越轨道丛的奇异情形。
• 建立有限准-étale 覆盖的存在性，使得切丛在该覆盖上成为局部自由且平坦，从而推出典范类的数值平凡性。

提出的方法

• 使用轨道丛陈类及其与充分线丛的交配对，定义 klt 代数簇上的消失条件。
• 应用 GKP14a 的近期结果，即 klt 代数簇的光滑部分上存在有限伽罗瓦覆盖，且该覆盖在光滑部分上是 étale 的。
• 采用关于极化下的半稳定性概念及涉及一阶与二阶陈特征的斜率条件。
• 利用如下事实：在 klt 曲面上，一阶与二阶轨道丛陈类为零的可微层通过酉表示在光滑部分上诱导出平坦、局部自由层。
• 应用辛普森对应关系，通过有限覆盖上的等变结构，将光滑部分上的平坦联络提升至整个代数簇。
• 使用分歧公式与投影公式，关联覆盖与基代数簇的典范类，证明典范类的数值平凡性。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时一个 klt 代数簇是阿贝尔簇关于在余维数一上自由的群作用的有限商？
• RQ2 在 klt 代数簇上，一阶与二阶轨道丛陈类为零的可微层在光滑部分上成为局部自由且平坦的条件是什么？
• RQ3 经典稳定向量丛与酉表示之间的对应关系如何推广至具有 klt 奇点的奇异代数簇？
• RQ4 在何种条件下，klt 代数簇的切丛在有限准-étale 覆盖后成为局部自由？
• RQ5 轨道丛陈类及其交配对如何刻画阿贝尔簇有限商的几何性质？

主要发现

• 一个 klt 代数簇 X 是阿贝尔簇关于在余维数一上自由的有限群作用的有限商，当且仅当其一阶与二阶轨道丛陈类消失。
• 对于此类代数簇 X 上的半稳定可微层 E，若其一阶与二阶轨道丛陈类为零，则其限制 E|X_reg^an 是局部自由且平坦的，并来自 π₁(X_reg) 的线性不可约酉表示。
• 该层 E 可通过有限伽罗瓦覆盖 X̃（在 X_reg 上 étale）扩展至一个由 π₁(X̃) 的等变线性不可约酉表示给出的局部自由且平坦层。
• 代数簇 X 的切丛是拟半正的，当且仅当存在一个有限准-étale 覆盖 Y，使得 T_Y 局部自由且平坦，这蕴含 K_X ≡ 0。
• 在 klt 情形下，K_X ≡ 0 与轨道丛陈类消失的条件等价，其含义是：K_X ≡ 0 当且仅当在一般曲面截面中轨道丛一阶陈类消失。
• 此类有限覆盖的存在性以及拉回层的平坦性由 GKP14a 的结果保证，这些结果构成了整个构造的基础。