[论文解读] A cocategorical obstruction to tensor products of Gray-categories

John Bourke, Nick Gurski|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文证明，在格雷-范畴的范畴上不存在任何性质良好的对称双闭结构，主要原因是中间四重交换律的失效。本文进一步证明，不存在任何此类张量积可使格雷-范畴的模型范畴成为单体模型范畴，从而阻碍了格雷张量积在高维范畴中的推广。

ABSTRACT

It was argued by Crans that it is too much to ask that the category of Gray-categories admit a well behaved monoidal biclosed structure. We make this precise by establishing undesirable properties that any such monoidal biclosed structure must have. In particular we show that there does not exist any tensor product making the model category of Gray-categories into a monoidal model category.

研究动机与目标

• 研究格雷-范畴范畴上是否存在类似于二维范畴中格雷张量积的单体双闭结构。
• 确定此类结构是否能支持弱变换和相干的高阶态射。
• 检查格雷-范畴的模型范畴是否可成为单体模型范畴。
• 阐明由于高维范畴中中间四重交换律失效所导致的障碍。

提出的方法

• 使用范畴对偶性和余范畴推理，分析格雷-范畴范畴中潜在的张量积。
• 将戴恩的方法（用于通过稠密函子扩展单体结构）应用于由奇偶立方体生成的 $\omega$-范畴子范畴。
• 分析 $O(I^2)$ 上的双余范畴结构，表明其在格雷-范畴设定下不满足中间四重交换律公理。
• 证明，任何格雷-范畴上的双闭张量积都要求 $O(I^2)$ 上存在双余范畴结构，但由于一致性失效，这是不可能的。
• 利用在中间四重交换律失效时，标准余范畴 $\beta$ 在 $\mathbf{Cat}$ 中无法提升为 $\mathcal{V}_2$-Cat 中的双余范畴这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在格雷-范畴范畴上定义一个单体双闭结构，以支持弱变换？
• RQ2 是否能通过戴恩的扩展方法将格雷张量积构造推广到更高维度？
• RQ3 格雷-范畴中中间四重交换律的失效是否阻止了单体模型范畴结构的存在？
• RQ4 是否可以在 $O(I^2)$ 上形成一个双余范畴结构，使其在格雷-范畴背景下同时尊重水平与垂直余范畴结构？

主要发现

• 在格雷-范畴范畴上不存在满足弱变换所需一致性性质的单体双闭结构。
• 由于中间四重交换律的障碍，格雷-范畴的模型范畴无法配备单体模型范畴结构。
• 任何此类张量积所要求的 $O(I^2)$ 上的双余范畴结构，均不满足中间四重交换律，因此不可行。
• 障碍的根本原因在于：即使通过戴恩方法扩展结构，若缺乏严格的中间四重交换律，一致性仍会失效。
• 该结果将多兰的异议推广到高维情形，表明同样的失效阻止了 $\mathcal{V}_2$-Cat 上双闭张量积的存在。