[论文解读] A combinatorial theory of random matrices III: random walks on $\mathfrak{S}(N)$, ramified coverings and the $\mathfrak{S}(\infty)$ Yang-Mills measure

Franck Gabriel|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文通过证明随机均匀分支覆盖在圆盘上的单值变换场在 $N \to \infty$ 时以概率收敛于一个确定性的连续场，建立了 $\sigma(\infty)$-Yang-Mills 主场的存在性。利用 $\mathfrak{S}(N)$-Yang-Mills 测度与通过对换生成的 $\mathfrak{S}(N)$ 上的随机游走之间的等价性，作者在非交换和 $\mathcal{P}$-分布意义下推导出渐近收敛性，将极限过程识别为一个可显式计算其对数累积量变换的非自由乘法 $\mathcal{P}$-Lévy 过程。

ABSTRACT

The aim of this article is to study some asymptotics of a natural model of random ramified coverings on the disk of degree $N$. We prove that the monodromy field, called also the holonomy field, converges in probability to a non-random field as $N$ goes to infinity. In order to do so, we use the fact that the monodromy field of random uniform labelled simple ramified coverings on the disk of degree $N$ has the same law as the $\mathfrak{S}(N)$-Yang-Mills measure associated with the random walk by transposition on $\mathfrak{S}(N)$. This allows us to restrict our study to random walks on $\mathfrak{S}(N)$: we prove theorems about asymptotics of random walks on $\mathfrak{S}(N)$ in a new framework based on the geometric study of partitions and the Schur-Weyl-Jones's dualities. In particular, given a sequence of conjugacy classes $(λ\_N \subset \mathfrak{S}(N))\_{N \in \mathbb{N}}$, we define a notion of convergence for $(λ\_N)\_{N \in \mathbb{N}}$ which implies the convergence in non-commutative distribution and in $\mathcal{P}$-expectation of the $λ\_N$-random walk to a $\mathcal{P}$-free multiplicative L{é}vy process. This limiting process is shown not to be a free multiplicative L{é}vy process and we compute its log-cumulant functional. We give also a criterion on $(λ\_N)\_{N \in \mathbb{N}}$ in order to know if the limit is random or not.

研究动机与目标

• 建立当 $N \to \infty$ 时，随机分支覆盖在圆盘上的单值变换场的确定性极限的存在性。
• 将 $\mathfrak{S}(N)$-Yang-Mills 测度与通过 $\mathfrak{S}(N)$ 上对换生成的随机游走联系起来，从而能够使用组合与表示论工具。
• 为 $\mathfrak{S}(N)$ 中共轭类序列 $(\lambda_N)_{N \in \mathbb{N}}$ 定义一种收敛性概念，以确保其关联的随机游走在非交换和 $\mathcal{P}$-分布意义下的收敛性。
• 将极限过程表征为一个非自由的乘法 $\mathcal{P}$-Lévy 过程，并显式计算其对数累积量变换。

提出的方法

• 利用 $\mathfrak{S}(N)$-Yang-Mills 测度与从共轭类 $\lambda_N$ 中均匀选取的 $\mathfrak{S}(N)$ 上随机游走的分布之间的等价性，使群论与概率方法得以应用。
• 应用整数分拆的几何分析与 Schur-Weyl-Jones 对偶性，研究 $\mathfrak{S}(N)$ 上随机游走的渐近行为。
• 提出一种新的共轭类序列 $(\lambda_N)$ 的收敛准则，以确保其关联的随机游走在非交换和 $\mathcal{P}$-分布意义下的收敛性。
• 利用嵌入图中面性绳索上 holonomy 变量的 $\mathcal{P}$-自由性，通过乘法自由概率技术计算主场。
• 运用 $\mathcal{P}$-分布框架及文献 [15] 的结果，计算了在 $N \to \infty$ 时随机矩阵乘积的归一化迹的极限，特别使用了 $\mathbb{E}m_{(1,2)}[ML, ML^{-1}]$ 公式。
• 通过分析独立 $S_t^N$-分布变量下 $\frac{1}{N}\mathbb{E}[\mathrm{Tr}(C_N B_N A_N^{-1} B_N A_N)]$ 的渐近行为，推导出极限过程的对数累积量变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathfrak{S}(N)$ 中共轭类序列 $(\lambda_N)_{N \in \mathbb{N}}$ 满足何种条件时，其关联的 $\lambda_N$-随机游走会在 $N \to \infty$ 时收敛于非交换分布？
• RQ2 在 $\mathfrak{S}(\infty)$-Yang-Mills 测度下，单值变换场的极限过程的性质是什么？它是否为自由乘法 Lévy 过程？
• RQ3 如何利用面性绳索和渐近 $\mathcal{P}$-自由性，显式计算平面图中嵌入环路的 $\mathfrak{S}(\infty)$-主场？
• RQ4 从 $\mathfrak{S}(N)$-Yang-Mills 测度中产生的极限乘法 $\mathcal{P}$-Lévy 过程的对数累积量变换的显式形式是什么？
• RQ5 何种判据可判断极限场是确定性的还是随机的？

主要发现

• 随机均匀分支覆盖在圆盘上的单值变换场在 $N \to \infty$ 时以概率收敛于一个非随机的连续场，从而确立了 $\mathfrak{S}(\infty)$-主场的存在性。
• $\mathfrak{S}(N)$-Yang-Mills 测度在分布上等价于 $\mathfrak{S}(N)$ 上的 $\lambda_N$-随机游走，使得可使用组合工具分析其渐近行为。
• 在对换情形（$\lambda_N = \text{transpositions}$）下，极限过程为一个非自由的乘法 $\mathcal{P}$-Lévy 过程，其对数累积量变换可显式计算。
• 对于环路 $l = aba^{-1}bc$，极限场 $\phi(l)$ 由下式给出：$\phi(l) = e^{-u}\left[e^{-2t} + e^{-t}e^{-s} - e^{-2t}e^{-s} + e^{-2t}e^{-2s} - e^{-2t}e^{-2s}t\right]$，其中 $s,t,u$ 为与面性绳索相关的时间参数。
• 极限过程并非自由乘法 Lévy 过程，这由累积量展开中非零的交叉项（特别是 $-e^{-2t}e^{-2s}t$ 项）所证实。
• 通过渐近 $\mathcal{P}$-自由性及对文献 [15] 中引理 5.1 的应用，建立了归一化迹 $\frac{1}{N}\mathbb{E}[\mathrm{Tr}(C_N B_N A_N^{-1} B_N A_N)]$ 收敛于上述表达式的结论。