[论文解读] A completely monotonic function involving the gamma and tri-gamma functions

Feng Qi|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2013

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 47被引用 10

一句话总结

本文建立了函数 $ f_a(x) = \frac{1}{2}\ln(2\pi) - x + \left(x - \frac{1}{2}\right)\ln x - \ln\Gamma(x) + \frac{1}{12}\psi'(x+a) $ 在 $ (0,\infty) $ 上完全单调的 $ a \geq 0 $ 的必要且充分条件。证明了 $ f_0(x) $ 和 $ -f_a(x) $（当 $ a \geq \frac{1}{2} $ 时）是完全单调的，通过积分表示和单调性分析，得到了伽马函数与三 digamma 函数的新不等式。

ABSTRACT

In the paper the author provides necessary and sufficient conditions on $a$ for the function $\frac{1}{2}\ln(2π)-x+\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)\ln x-\lnΓ(x)+\frac1{12}{ψ'(x+a)}$ and its negative to be completely monotonic on $(0,\infty)$, where $a\ge0$ is a real number, $Γ(x)$ is the classical gamma function, and $ψ(x)=\frac{Γ'(x)}{Γ(x)}$ is the di-gamma function. As applications, some known results and new inequalities are derived.

研究动机与目标

• 将 $ F_a(x) $ 的凸性结果推广至涉及伽马函数与三 digamma 函数的关联函数的完全单调性。
• 确定 $ a \geq 0 $ 的精确范围，使得 $ f_a(x) $ 或其相反数在 $ (0,\infty) $ 上完全单调。
• 利用 $ f_a(x) $ 的完全单调性及其积分表示，推导伽马函数的新不等式。
• 强化并扩展先前在特殊函数理论中关于单调性与不等式的结果。

提出的方法

• 将 $ f_a(x) $ 定义为对数函数、伽马函数与三 digamma 函数的组合，其中包含参数 $ a $。
• 通过分析差值 $ f_a(x) - f_a(x+1) $ 及其导数，利用积分表示研究单调性。
• 将导数 $ [f_a(x) - f_a(x+1)]' $ 表示为积分形式 $ \int_0^\infty \phi_a(t) e^{-xt} dt $，以应用 Bernstein-Widder 定理。
• 通过级数展开与不等式分析，研究 $ a = 0 $ 和 $ a = \frac{1}{2} $ 时核函数 $ \phi_a(t) $ 的符号。
• 通过归纳法分析 $ f_a(x) $ 的各阶导数，利用 $ f_a^{(k)}(x) $ 在无穷远处的行为，确立完全单调性。
• 推导 $ f_0(x) $ 和 $ -f_a(x) $（其中 $ a \geq \frac{1}{2} $）的积分表示，确认其完全单调性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $ a \geq 0 $ 的值，函数 $ f_a(x) $ 在 $ (0,\infty) $ 上完全单调？
• RQ2 使得 $ -f_a(x) $ 在 $ (0,\infty) $ 上完全单调的 $ a $ 的必要且充分条件是什么？
• RQ3 如何通过 $ f_a(x) $ 的完全单调性导出伽马函数的新不等式？
• RQ4 能否利用 $ f_a(x) $ 的完全单调性来推广或加强已知的伽马函数与多 digamma 函数的结果？
• RQ5 $ f_a(x) $ 的完全单调性与相关伽马函数比值的对数完全单调性之间有何关系？

主要发现

• 函数 $ f_0(x) $ 在 $ (0,\infty) $ 上完全单调，且其导数差 $ f_0'(x+1) - f_0'(x) $ 也是完全单调的。
• 当 $ a \geq \frac{1}{2} $ 时，函数 $ -f_a(x) $ 在 $ (0,\infty) $ 上完全单调，且 $ f_a'(x) - f_a'(x+1) $ 也是完全单调的。
• $ \phi_0(t) $ 在 $ (0,\infty) $ 上为负，$ \phi_{1/2}(t) $ 为正，确认了完全单调性所要求的符号行为。
• $ f_a(x) $ 具有积分表示 $ \int_0^\infty \phi_a(t) e^{-xt} dt $，通过 Bernstein-Widder 定理确认其完全单调性。
• 当且仅当 $ \alpha = 0 $ 且 $ \beta \geq \frac{1}{2} $ 时，双不等式 $ \sqrt{2\pi}\,x^{x-1/2}\exp\left(\frac{\psi'(x+\beta)}{12} - x\right) < \Gamma(x) < \sqrt{2\pi}\,x^{x-1/2}\exp\left(\frac{\psi'(x+\alpha)}{12} - x\right) $ 成立。
• 当且仅当 $ \alpha \geq \frac{1}{2} $ 时，比值 $ \frac{\Gamma(x+s)}{\Gamma(x+t)} \cdot \frac{(x+t)^{x+t-1/2}}{(x+s)^{x+s-1/2}} \exp\left[ s-t + \frac{\psi'(x+t+\alpha) - \psi'(x+s+\alpha)}{12} \right] $ 在 $ (-s,\infty) $ 上是对数完全单调的。