[论文解读] A Composition Theorem via Conflict Complexity

Swagato Sanyal|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文引入了冲突复杂度（conflict complexity）这一新颖的偏布尔函数复杂度度量，并证明了一个组合定理，表明复合关系 $f \circ g^n$ 的随机化查询复杂度下界为 $\Omega(\R_{4/9}(f) \cdot \sqrt{\R_{1/3}(g)})$。该结果通过一种基于冲突复杂度的新下界技术获得，该技术表明其复杂度为 $\Omega(\sqrt{\R_{1/3}(g)})$，且通过先前工作中给出的例子表明该界在常数因子内是紧致的。

ABSTRACT

Let $\R(\cdot)$ stand for the bounded-error randomized query complexity. We show that for any relation $f \subseteq \{0,1\}^n imes \mathcal{S}$ and partial Boolean function $g \subseteq \{0,1\}^n imes \{0,1\}$, $\R_{1/3}(f \circ g^n) = Ω(\R_{4/9}(f) \cdot \sqrt{\R_{1/3}(g)})$. Independently of us, Gavinsky, Lee and Santha \cite{newcomp} proved this result. By an example demonstrated in their work, this bound is optimal. We prove our result by introducing a novel complexity measure called the \emph{conflict complexity} of a partial Boolean function $g$, denoted by $χ(g)$, which may be of independent interest. We show that $χ(g) = Ω(\sqrt{\R(g)})$ and $\R(f \circ g^n) = Ω(\R(f) \cdot χ(g))$.

研究动机与目标

• 建立复合关系 $f \circ g^n$ 的随机化查询复杂度的下界，以分量函数的复杂度为基准。
• 引入并分析偏布尔函数 $g$ 的一种新复杂度度量——冲突复杂度 $\chi(g)$。
• 证明 $\chi(g) = \Omega(\sqrt{\R_{1/3}(g)})$，从而支持紧致的组合定理。
• 提供一个更简单、更短的证明方法，用于已知的组合界，其结果在常数因子内达到最优下界。

提出的方法

• 将冲突复杂度 $\chi(g)$ 定义为：在仅有限查询访问的随机过程中，区分偏布尔函数 $g$ 中输出不同的输入的困难程度的度量。
• 使用涉及分布 $\mu_0$、$\mu_1$ 和一个模拟对 $g$ 查询的随机过程 $\mathcal{P}$ 的混合论证，同时追踪其与输入标签的一致性。
• 构造一个 $f$ 的查询算法 $T$，通过模拟 $f \circ g^n$ 的复合算法行为，利用冲突复杂度来限制查询代价。
• 应用马尔可夫不等式来限制模拟算法中的期望查询次数，表明存在一个常数比例的输入可被 $O(t/d)$ 次查询计算，其中 $t$ 为原始复杂度，$d = \chi(g)$。
• 利用最小最大原理将随机化查询复杂度与分布复杂度联系起来，从而推导出最终的组合界。
• 通过反证法证明：若期望查询次数过低，则会违反冲突复杂度 $\chi(g) = d$ 的定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种新的复杂度度量，以捕捉在查询偏布尔函数时的内在困难，从而支持紧致的组合定理？
• RQ2 对于任意偏布尔函数 $g$，冲突复杂度 $\chi(g)$ 是否满足下界 $\Omega(\sqrt{\R_{1/3}(g)})$？
• RQ3 能否通过比以往方法更简单、更直接的方法证明组合定理 $\R_{1/3}(f \circ g^n) = \Omega(\R_{4/9}(f) \cdot \sqrt{\R_{1/3}(g)})$？
• RQ4 该界 $\R_{1/3}(f \circ g^n) = \Omega(\R_{4/9}(f) \cdot \sqrt{\R_{1/3}(g)})$ 是否为紧致的？能否通过显式例子加以证明？

主要发现

• 偏布尔函数 $g$ 的冲突复杂度 $\chi(g)$ 满足 $\chi(g) = \Omega(\sqrt{\R_{1/3}(g)})$，从而为这一新度量建立了强有力的下界。
• 组合定理 $\R_{1/3}(f \circ g^n) = \Omega(\R_{4/9}(f) \cdot \chi(g))$ 成立，提供了以冲突复杂度表示的一般性下界。
• 主结论 $\R_{1/3}(f \circ g^n) = \Omega(\R_{4/9}(f) \cdot \sqrt{\R_{1/3}(g)})$ 由上述两个界组合得出，且通过先前工作中已知的例子证明其为最优。
• 该证明方法显著比 Gavinsky、Lee 和 Santha 的独立证明更简单、更短，同时达到了相同的紧致界。
• 复合关系的随机化查询复杂度下界为 $f$ 在误差 $4/9$ 时的复杂度与 $g$ 在误差 $1/3$ 时复杂度的平方根的乘积。
• 该构造使用涉及分布 $\mu_0$、$\mu_1$ 和一个追踪一致性的查询过程的混合模拟，从而导出基于马尔可夫不等式的查询次数论证。