[论文解读] Randomized query complexity of sabotaged and composed functions

Shalev Ben-David, Robin Kothari|arXiv (Cornell University)|May 29, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 22被引用 11

一句话总结

本文引入了随机化破坏复杂度（randomized sabotage complexity），一种新的随机化查询复杂度下界技术，可实现完美的组合定理。研究证明，在函数 f 和 g 之间插入一个小型索引装置（其查询复杂度为 Θ(log R(g))），可使 R(f∘Ind∘g) = Ω(R(f)R(Ind)R(g))，几乎实现了随机化查询复杂度的组合定理。

ABSTRACT

We study the composition question for bounded-error randomized query complexity: Is R(f o g) = Omega(R(f) R(g)) for all Boolean functions f and g? We show that inserting a simple Boolean function h, whose query complexity is only Theta(log R(g)), in between f and g allows us to prove R(f o h o g) = Omega(R(f) R(h) R(g)). We prove this using a new lower bound measure for randomized query complexity we call randomized sabotage complexity, RS(f). Randomized sabotage complexity has several desirable properties, such as a perfect composition theorem, RS(f o g) >= RS(f) RS(g), and a composition theorem with randomized query complexity, R(f o g) = Omega(R(f) RS(g)). It is also a quadratically tight lower bound for total functions and can be quadratically superior to the partition bound, the best known general lower bound for randomized query complexity. Using this technique we also show implications for lifting theorems in communication complexity. We show that a general lifting theorem for zero-error randomized protocols implies a general lifting theorem for bounded-error protocols.

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：对于所有布尔函数 f 和 g，是否成立 R(f∘g) = Ω(R(f)R(g))？
• 克服随机化查询复杂度中缺乏一般性组合定理的问题，该问题在量子和确定性模型中已被证明不成立。
• 开发一种新的下界技术，以实现紧致的组合定理，并优于现有的方法（如划分界限）。
• 为通信复杂度中的提升定理建立影响，表明一个零错误提升定理可推出一个有界错误提升定理。
• 为全函数提供一个二次紧致的下界，并在某些情况下证明其优于划分界限。

提出的方法

• 引入随机化破坏复杂度（RS(f)）作为随机化查询复杂度的一种新下界度量。
• 证明 RS(f∘g) ≥ RS(f)RS(g)，建立 RS 的完美组合定理。
• 证明 R(f∘g) = Ω(R(f)RS(g))，将 RS 与随机化查询复杂度联系起来。
• 使用索引函数 Ind，其满足 R(Ind) = Θ(log R(g))，作为破坏装置以组合 f 和 g。
• 应用有界错误算法的最小最大定理，推导出期望查询复杂度的下界。
• 利用破坏策略的结构和概率论证，对错误和查询次数进行有界控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否建立一个随机化查询复杂度的组合定理，即使近似成立？
• RQ2 是否存在一种下界技术，可实现完美组合，并且对全函数为二次紧致？
• RQ3 随机化破坏复杂度能否用于关联零错误与有界错误通信协议的提升定理？
• RQ4 随机化破坏复杂度与划分界限及其他已知下界相比如何？
• RQ5 在随机化查询复杂度中，为确保组合定理成立，所需的最小装置大小是多少？

主要发现

• 随机化破坏复杂度（RS(f)）是对全布尔函数的二次紧致下界。
• RS(f) 至少与划分界限一样大，在某些情况下可达到二次优越性。
• 组合定理 RS(f∘g) ≥ RS(f)RS(g) 在最坏情况下取等，实现了完美组合。
• 对于任意 f 和 g，插入一个满足 R(Ind) = Θ(log R(g)) 的索引装置，可得 R(f∘Ind∘g) = Ω(R(f)R(Ind)R(g)) = Ω(R(f)R(g)log R(g))。
• 零错误随机化协议的一般提升定理可推出有界错误协议的一般提升定理。
• 使用有界错误算法的最小最大定理，可推导出一个分布 μ，使得任何错误 ≤ ε 的算法在 μ 上的期望查询次数至少为 R_ε(f)。