[论文解读] A Dichotomy for the Generalized Model Counting Problem for Unions of Conjunctive Queries

Batya Kenig, Dan Suciu|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2020

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 10被引用 5

一句话总结

本论文为在 {0, 1/2, 1} 概率下的联合可满足查询（UCQs）广义模型计数问题建立了二分法，证明该问题要么可在多项式时间内求解（对于安全 UCQs），要么为 #P-难（对于非安全 UCQs），即使在元组概率被限制为 {0, 1/2, 1} 的情况下亦然。其关键贡献是一种新颖的难解性证明技术，该技术不依赖于 (0,1) 区间内多个不同的概率值，表明 #P-难性在这一严格的概率约束下依然成立，从而强化了先前在概率数据库查询评估方面的结果。

ABSTRACT

We study the $generalized~model~counting~problem$, defined as follows: given a database, and a set of deterministic tuples, count the number of subsets of the database that include all deterministic tuples and satisfy the query. This problem is computationally equivalent to the evaluation of the query over a tuple-independent probabilistic database where all tuples have probabilities in $\{0,\frac{1}{2},1\}$. Previous work has established a dichotomy for Unions of Conjunctive Queries (UCQ) when the probabilities are arbitrary rational numbers, showing that, for each query, its complexity is either in polynomial time or #P-hard. The query is called $safe$ in the first case, and $unsafe$ in the second case. Here, we strengthen the hardness proof, by proving that an unsafe UCQ query remains #P-hard even if the probabilities are restricted to $\{0,\frac{1}{2},1\}$. This requires a complete redesign of the hardness proof, using new techniques. A related problem is the $model~counting~problem$, which asks for the probability of the query when the input probabilities are restricted to $\{0,\frac{1}{2}\}$. While our result does not extend to model counting for all unsafe UCQs, we prove that model counting is #P-hard for a class of unsafe queries called Type-I forbidden queries.

研究动机与目标

• 在受限概率下，为联合可满足查询（UCQs）的广义模型计数问题建立二分法。
• 证明即使概率被限制为 {0, 1/2, 1}，非安全 UCQs 的查询评估仍为 #P-难，尽管先前的证明依赖于任意有理概率。
• 开发不依赖于 (0,1) 区间内多个不同概率值的新证明技术，从而在更严格的概率约束下实现难解性结果。
• 研究当概率被限制为 {0, 1/2} 时，模型计数是否对非安全 UCQs 依然困难，特别关注 I 型禁止查询的子类。

提出的方法

• 通过引入一种新技巧，重新设计非安全 UCQs 的难解性证明，避免对 (0,1) 区间内多个不同概率值的依赖，转而依赖有界次数的多元多项式性质。
• 使用引理 1.1 表明，对于任意非零的次数 ≤2 的多元多项式，存在一个将变量赋值为 {c₁, c₂, c₃}（互异常数）的赋值，使得多项式非零，从而可构造仅使用三种概率值的难解实例。
• 通过使用指数向量序列的新型归纳论证，构造出在重复应用下概率乘积保持非零的赋值，确保非零模型计数的存在性。
• 利用引理 C.48 确保对于某些指数序列，概率乘积在极限下保持非零，通过确保概率比值呈指数衰减。
• 定义约束 Γ，使得概率比值 r_ij = u_i^q z_j^t 互不相同，从而在求和中实现最大项的渐近主导，保持非零评估。
• 对 UCQ 中合取查询的数量进行归纳，通过乘法概率结构组合子查询结果，并应用新证明框架以保持非零评估。

实验结果

研究问题

• RQ1 当概率被限制为 {0, 1/2, 1} 时，非安全 UCQs 的查询评估 #P-难性是否依然成立？
• RQ2 能否开发一种新证明技术，避免对 (0,1) 区间内多个不同概率值的依赖，而这些依赖在先前的难解性证明中是核心？
• RQ3 当概率被限制为 {0, 1/2} 时，非安全 UCQs 的模型计数是否仍为 #P-难，特别是针对 I 型禁止查询？
• RQ4 在概率向量重复指数化下，是否仍能保证非零模型计数的存在，即使在严格的概率约束下？
• RQ5 多元多项式的哪些结构性质使其在 {0, 1/2, 1} 等有限取值集合上可实现非零评估？

主要发现

• UCQs 的广义模型计数问题要么属于 PTIME（若查询为安全），要么为 #P-难（若查询为非安全），即使所有元组概率被限制为 {0, 1/2, 1} 亦然。
• 该难解性结果适用于所有非安全 UCQs，而不仅限于子类，通过构造一种不依赖于 (0,1) 区间内多个不同概率值的新证明实现。
• 该证明依赖于一个新引理：任何次数 ≤2 的非零多元多项式，在 {c₁, c₂, c₃} 的某个赋值下（其中 c₁, c₂, c₃ 为互异常数）必有非零值。
• 对于非安全 UCQs，即使概率被限制为 {0, c, 1}（c 为 (0,1) 内任意固定值），只要 c 不是相关多项式的根，模型计数仍为 #P-难。
• 本文证明了当概率被限制为 {0, 1/2} 时，一类称为 I 型禁止查询的非安全查询的模型计数为 #P-难。
• 在指数缩放概率之和中，最大项的渐近主导性确保了在重复指数化下非零评估持续存在，从而支持了难解实例的构造。