[论文解读] A flow of conformally balanced metrics with Kähler fixed points

D. H. Phong, Sébastien Picard+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 45被引用 4

一句话总结

本文引入了一类在具有处处非零全纯 $(n,0)$-形式的紧致复流形上、关于共形平衡度量的几何流，证明了其在初始数据为共形平衡且与凯勒度量相容时的短时存在性与长时间收敛性，可收敛至凯勒里奇平坦度量。该流保持共形平衡条件，并以凯勒度量为不动点，为丘定理中关于里奇平坦凯勒度量的存在性提供了一种新的抛物型证明方法。

ABSTRACT

While the Anomaly flow was originally motivated by string theory, its zero slope case is potentially of considerable interest in non-Kahler geometry, as it is a flow of conformally balanced metrics whose stationary points are precisely Kahler metrics. We establish its convergence on Kahler manifolds for suitable initial data. We also discuss its relation to some current problems in complex geometry.

研究动机与目标

• 研究具有全纯 $(n,0)$-形式的紧致复流形上共形平衡度量的几何流，其动机来自弦理论与非凯勒几何。
• 在适当的初始条件下，建立该流的存在性与收敛性，特别是当流形为凯勒流形时。
• 通过复蒙日-安培型流，为丘定理中关于里奇平坦凯勒度量的存在性提供一种新的抛物型证明。
• 探讨该流与复几何中基本问题的关系，例如正 $(p,p)$ 上同调类是否存在凯勒代表。

提出的方法

• 该流由演化方程 $\partial_t(\|\Omega\|_\omega \omega^{n-1}) = i\partial\bar{\partial}\omega^{n-2}$ 定义，保持共形平衡条件 $d(\|\Omega\|_{\omega_0}\omega_0^{n-1}) = 0$。
• 证明该流在初始共形平衡度量下为抛物型，从而保证在 $[0,T)$ 上存在唯一解，其中 $T>0$。
• 在凯勒流形上，该流退化为复蒙日-安培型方程 $\partial_t\varphi = e^{-f} \frac{(\hat{\chi} + i\partial\bar{\partial}\varphi)^n}{\hat{\chi}^n}$，初始条件为 $\varphi(0) = 0$，且 $\hat{\chi}$ 为凯勒度量。
• 通过曲率与挠率估计分析该流，并在 $C^\infty$ 拓扑下证明归一化势函数 $\tilde{\varphi}(t)$ 的收敛性。
• 证明依赖于涉及赫米特度量与微分形式（特别是 $(2,1)$-形式及其楔积）的收缩恒等式与曲率计算。
• 证明该流的不动点为阿斯滕诺-凯勒度量，在给定条件下即为凯勒度量，从而导致收敛至里奇平坦凯勒度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，共形平衡度量的流在具有全纯 $(n,0)$-形式的紧致复流形上收敛至凯勒度量？
• RQ2 该流能否提供一种独立于凯勒-里奇流的抛物型证明，以证明丘定理中关于里奇平坦凯勒度量的存在性？
• RQ3 该流与非凯勒几何中正 $(p,p)$ 上同调类是否存在凯勒代表的问题有何关联？
• RQ4 当初始度量为共形平衡但流形非凯勒时，该流的行为如何？
• RQ5 复蒙日-安培型流 $\partial_t\varphi = e^{-f} \frac{(\hat{\chi} + i\partial\bar{\partial}\varphi)^n}{\hat{\chi}^n}$ 的几何与解析性质为何？

主要发现

• 流 $\partial_t(\|\Omega\|_\omega \omega^{n-1}) = i\partial\bar{\partial}\omega^{n-2}$ 为抛物型，且对任意紧致 $n$-维复流形（$n \geq 3$）上共形平衡的初始度量 $\omega_0$，存在唯一的短时解。
• 在初始数据满足 $\|\Omega\|_{\omega(0)}\omega(0)^{n-1} = \hat{\chi}^{n-1}$ 的凯勒流形上，其中 $\hat{\chi}$ 为凯勒度量，该流对所有 $t > 0$ 存在。
• 当 $t \to \infty$ 时，解 $\omega(t)$ 光滑收敛至满足 $\omega_\infty = \|\Omega\|_{\chi_\infty}^{-2/(n-2)} \chi_\infty$ 的度量 $\omega_\infty$，其中 $\chi_\infty$ 为同调类 $[\hat{\chi}]$ 中唯一的里奇平坦凯勒度量。
• 极限度量 $\omega_\infty$ 为凯勒且里奇平坦，且满足 $\|\Omega\|_{\chi_\infty}^2 = \frac{n!}{[\hat{\chi}]^n} \int_X i^{n^2} \Omega \wedge \bar{\Omega}$，其为由全纯体积形式与上同调类决定的常数。
• 该流为丘定理中关于里奇平坦凯勒度量的存在性提供了一种新的抛物型证明，其方法与凯勒-里奇流及反蒙日-安培流方法均不同。
• 关联的复蒙日-安培流 $\partial_t\varphi = e^{-f} \frac{(\hat{\chi} + i\partial\bar{\partial}\varphi)^n}{\hat{\chi}^n}$（初始条件 $\varphi(0) = 0$）具有光滑且全局定义的解，且归一化势函数 $\tilde{\varphi}(t)$ 在 $C^\infty$ 拓扑下收敛。