[论文解读] (1,1) forms with specified Lagrangian phase: A priori estimates and algebraic obstructions

Tristan C. Collins, Adam Jacob+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 36被引用 50

一句话总结

该论文在紧致凯勒流形上建立了当拉格朗日相位 $h(x)$ 满足 $|h| > (n-2)\frac{\pi}{2}$ 且存在次解时，变形希格斯-杨 Mills (dHYM) 方程的先验 $C^{2,\beta}$ 估计。通过连续性方法，在这些条件下证明了超临界相位情形下光滑解的存在性，并识别了解存在的上同调障碍，证实了复曲面情形下的猜想。

ABSTRACT

Let $(X,α)$ be a Kähler manifold of dimension n, and let $[ω] \in H^{1,1}(X,\mathbb{R})$. We study the problem of specifying the Lagrangian phase of $ω$ with respect to $α$, which is described by the nonlinear elliptic equation \[ \sum_{i=1}^{n} \arctan(λ_i)= h(x) \] where $λ_i$ are the eigenvalues of $ω$ with respect to $α$. When $h(x)$ is a topological constant, this equation corresponds to the deformed Hermitian-Yang-Mills (dHYM) equation, and is related by Mirror Symmetry to the existence of special Lagrangian submanifolds of the mirror. We introduce a notion of subsolution for this equation, and prove a priori $C^{2,β}$ estimates when $|h|>(n-2)\fracπ{2}$ and a subsolution exists. Using the method of continuity we show that the dHYM equation admits a smooth solution in the supercritical phase case, whenever a subsolution exists. Finally, we discover some stability-type cohomological obstructions to the existence of solutions to the dHYM equation and we conjecture that when these obstructions vanish the dHYM equation admits a solution. We confirm this conjecture for complex surfaces.

研究动机与目标

• 建立紧致凯勒流形上指定拉格朗日相位方程 $\sum_{i=1}^n \arctan(\lambda_i) = h(x)$ 的先验 $C^{2,\beta}$ 估计。
• 在存在次解的条件下，证明变形希格斯-杨 Mills (dHYM) 方程在超临界相位区域的光滑解的存在性。
• 识别 dHYM 方程解存在的上同调障碍，并推测其消失是解存在的充分条件。
• 证实复曲面情形下 dHYM 方程的猜想稳定性条件。
• 将次解框架推广至复几何中的非严格凹 Hessian 型方程，推广了关于 $J$-方程的先前结果。

提出的方法

• 为 dHYM 方程引入 $\mathcal{C}$-次解的概念，将 Székelyhidi 的次解概念推广至非凹算子情形。
• 在条件 $|h| > (n-2)\frac{\pi}{2}$ 且存在次解下，利用精细的曲率与拉普拉斯比较技术，证明 $C^{2,\beta}$ 先验估计。
• 将连续性方法应用于 dHYM 方程，借助先验估计在超临界相位情形下构造光滑解。
• 通过 $J$-方程框架与某些 $(n-1,n-1)$-形式的正性，推导出 dHYM 解存在的上同调障碍。
• 利用卡拉比猜想与 Demailly-Păun 的判别准则，刻画类 $[\cot(\Theta_X)\alpha + \omega]$ 的凯勒正性，将其与解的存在性联系起来。
• 通过分析曲面 $C \subset X$ 上的不等式 $\Theta_C > \Theta_X - \frac{\pi}{2}$，验证复曲面情形下的猜想稳定性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当拉格朗日相位 $h(x)$ 非常数时，dHYM 方程在何种条件下允许存在光滑解？
• RQ2 在算子缺乏凹性的情况下，能否为 dHYM 方程建立先验 $C^{2,\beta}$ 估计？
• RQ3 哪些上同调障碍会阻止 dHYM 方程解的存在？这些障碍是否为充分条件？
• RQ4 dHYM 方程的猜想稳定性条件是否在复曲面情形下等价于解的存在性？
• RQ5 当 $k \to \infty$ 时，dHYM 方程的极限行为如何与 $J$-方程及次解理论相关联？

主要发现

• 当 $|h| > (n-2)\frac{\pi}{2}$ 且存在 $\mathcal{C}$-次解时，dHYM 方程的先验 $C^{2,\beta}$ 估计得以建立。
• 连续性方法在存在次解时可导出 dHYM 方程在超临界相位情形下的光滑解。
• 通过与子簇相关的 $(n-1,n-1)$-形式的正性，识别出 dHYM 解存在的上同调障碍。
• dHYM 解存在的猜想稳定性条件在复曲面情形下被证实成立。
• 对于复曲面，dHYM 方程存在解当且仅当对每个曲线 $C \subset X$，有 $\Theta_C > \Theta_X - \frac{\pi}{2}$。
• 本文表明，在次临界相位区域，dHYM 方程可能表现出分析上的病态行为，即使对于 $C^{1,\beta}$ 解，$C^2$ 正则性也可能失效。