[论文解读] A fractional generalization of the Poisson processes

Francesco Mainardi, Rudolf Gorenflo+1 more|ArXiv.org|Jan 16, 2007

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 19被引用 44

一句话总结

本文通过将泊松过程中的指数等待时间分布替换为Mittag-Leffler函数，引入了泊松过程的分数阶推广，得到一种具有幂律衰减的非马尔可夫更新过程。在生存概率方程中引入阶数β（0 < β < 1）的分数阶导数，得到带有Caputo时间导数的主方程，其解涉及Mittag-Leffler函数的迭代导数，将泊松过程和复合泊松过程推广至分数阶动力学。

ABSTRACT

It is our intention to provide via fractional calculus a generalization of the pure and compound Poisson processes, which are known to play a fundamental role in renewal theory, without and with reward, respectively. We first recall the basic renewal theory including its fundamental concepts like waiting time between events, the survival probability, the counting function. If the waiting time is exponentially distributed we have a Poisson process, which is Markovian. However, other waiting time distributions are also relevant in applications, in particular such ones with a fat tail caused by a power law decay of its density. In this context we analyze a non-Markovian renewal process with a waiting time distribution described by the Mittag-Leffler function. This distribution, containing the exponential as particular case, is shown to play a fundamental role in the infinite thinning procedure of a generic renewal process governed by a power asymptotic waiting time. We then consider the renewal theory with reward that implies a random walk subordinated to a renewal process.

研究动机与目标

• 通过分数阶微积分推广经典泊松过程，以建模具有长程依赖性和幂律衰减的非马尔可夫更新过程。
• 基于Mittag-Leffler分布的到达间隔时间，建立基于分数阶更新理论。
• 通过时间分数阶主方程，将带奖励的复合泊松过程推广至分数阶动力学。
• 利用Mittag-Leffler函数与拉普拉斯变换，推导分数阶复合过程的解析解。

提出的方法

• 生存概率由包含阶数β的Caputo时间导数的分数阶弛豫方程控制，取代经典泊松过程中的一阶导数。
• 等待时间密度由Mittag-Leffler函数导出，当β → 1时，该函数推广了指数分布。
• 通过拉普拉斯变换分析计数过程，概率P(N(t) = k)表示为等待时间密度与生存函数的k重卷积的拉普拉斯卷积。
• 分数阶复合过程通过带有Caputo分数阶导数的主方程建模，将时间演化与空间中的跳跃动力学联系起来。
• 通过Mittag-Leffler函数的迭代导数构造分数阶主方程的解，推广了泊松分布。
• 对具有幂律等待时间的通用更新过程进行稀释操作，其极限情况为Mittag-Leffler分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用分数阶微积分将泊松过程推广，以包含长程依赖性和幂律衰减？
• RQ2 Mittag-Leffler函数在表征非马尔可夫更新过程的等待时间分布中起什么作用？
• RQ3 引入Caputo分数阶导数如何改变生存概率与计数过程的动力学？
• RQ4 控制带奖励复合过程的分数阶主方程的解析解形式为何？
• RQ5 分数阶更新过程能否作为对具有幂律渐近等待时间的更新过程实施稀释程序的极限情况推导得出？

主要发现

• Mittag-Leffler函数作为具有幂律衰减的非马尔可夫更新过程中等待时间的基本分布出现，推广了指数分布。
• 当0 < β < 1时，生存概率遵循包含Caputo导数的分数阶弛豫方程，导致等待时间密度呈现幂律衰减。
• 在时间t内发生k个事件的概率P(N(t) = k)由Mittag-Leffler等待时间密度与生存函数的k重卷积的拉普拉斯卷积给出。
• 分数阶复合过程由带有时间分数阶导数的主方程控制，其在流体动力学极限下退化为时空分数阶扩散方程。
• 分数阶主方程的解表示为包含Mittag-Leffler函数及其导数的级数形式：p(x,t) = ∑_{k=0}^∞ [t^{βk}/k!] E_β^{(k)}(-t^β) w_k(x)。
• Mittag-Leffler分布作为具有幂律渐近等待时间的更新过程在无限稀释程序下的极限分布出现，确认了其在分数阶更新理论中的基础性作用。