[论文解读] Fractional Calculus: Integral and Differential Equations of Fractional Order

Rudolf Gorenflo, Francesco Mainardi|ArXiv.org|May 25, 2008

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 41被引用 1,118

一句话总结

本文提供了黎曼-刘维尔分数阶微积分的全面且易于理解的导论，重点介绍使用拉普拉斯变换技术的分数阶积分与微分方程。它推导出关键方程的解析解——阿贝尔型积分方程以及分数阶的松弛/振荡方程，展示了梅特格-莱夫勒函数的核心作用，其性质在附录中详细阐述。

ABSTRACT

We introduce the linear operators of fractional integration and fractional differentiation in the framework of the Riemann-Liouville fractional calculus. Particular attention is devoted to the technique of Laplace transforms for treating these operators in a way accessible to applied scientists, avoiding unproductive generalities and excessive mathematical rigor. By applying this technique we shall derive the analytical solutions of the most simple linear integral and differential equations of fractional order. We show the fundamental role of the Mittag-Leffler function, whose properties are reported in an ad hoc Appendix. The topics discussed here will be: (a) essentials of Riemann-Liouville fractional calculus with basic formulas of Laplace transforms, (b) Abel type integral equations of first and second kind, (c) relaxation and oscillation type differential equations of fractional order.

研究动机与目标

• 以对应用科学家友好的方式呈现分数阶微积分，避免过度的数学严谨性。
• 使用拉普拉斯变换推导线性分数阶积分与微分方程的解析解。
• 强调梅特格-莱夫勒函数在求解分数阶方程中的基础作用。
• 在连续介质力学（特别是粘弹性与松弛现象）的物理应用中，弥合理论分数阶微积分与实际应用之间的鸿沟。
• 提供关于分数阶算子及其解的自包含参考，附录中包含梅特格-莱夫勒函数的详细内容。

提出的方法

• 使用 $\alpha > 0$ 的黎曼-刘维尔定义进行分数阶积分与微分。
• 应用拉普拉斯变换于分数阶积分与微分算子，推导解法技术。
• 推导第一类与第二类阿贝尔型积分方程的解公式。
• 利用拉普拉斯变换对偶对求解分数阶松弛与振荡微分方程。
• 依赖梅特格-莱夫勒函数 $E_{\alpha,\beta}(z)$ 作为分数阶微分方程的核心解结构。
• 提供涉及 $s^{-\alpha}$ 和 $s^{1/2}$ 的有理函数的显式拉普拉斯变换对，其在特定情况下与误差函数相关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地应用拉普拉斯变换求解分数阶积分与微分方程？
• RQ2 分数阶阿贝尔型积分方程的解具有怎样的解析结构？
• RQ3 分数阶松弛与振荡方程在行为与解的形式上与整数阶对应物有何不同？
• RQ4 梅特格-莱夫勒函数在分数阶微分方程的解中扮演何种角色？
• RQ5 在哪些物理背景下，分数阶微分方程自然出现，以及如何求解？

主要发现

• 第二类阿贝尔积分方程的解可用梅特格-莱夫勒函数 $E_{\alpha,\beta}(z)$ 表示，证实了其在分数阶微积分中的核心作用。
• 当 $\alpha = 1/2$ 时，导出拉普拉斯变换对 $\frac{1}{s^{1/2}(s^{1/2} \pm \lambda)} \div e_{1/2}(t; \pm \lambda) = e^{\lambda^2 t} \text{erfc}(\pm \lambda \sqrt{t})$，将分数阶算子与误差函数联系起来。
• 分数阶松弛方程的解涉及梅特格-莱夫勒函数 $E_{\alpha}(-\lambda t^\alpha)$，其将指数衰减推广为幂律行为。
• 分数阶振荡方程的解包含 $E_{\alpha,\beta}(-\lambda t^\alpha)$，表现出具有长期幂律衰减的阻尼振荡行为。
• 拉普拉斯变换技术可利用已知的变换对，推导出常系数线性分数阶微分方程的精确解。
• 梅特格-莱夫勒函数在粘弹性模型中自然出现，如卡普托与曼纳迪所展示，证实了其在松弛过程中的物理相关性。