[论文解读] A Gamma-convergence approach to large deviations

Mauro Mariani|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用 15

一句话总结

本文通过引入一个统一的度量空间框架，建立了大偏差理论与Γ-收敛之间的严格联系，其中狭义收敛、Γ-收敛和大偏差分别对应于不同类型的收敛。关键贡献在于利用相对熵和水平集泛函的Γ-极限，提出了一种大偏差的变分方法，从而实现了速率函数的新表示形式，并推广了带二阶修正项的压缩原理和Sanov型定理。

ABSTRACT

A rigorous connection between large deviations theory and Gamma-convergence is established. Applications include representations formulas for rate functions, a contraction principle for measurable maps, a large deviations principle for coupled systems and a second order Sanov theorem.

研究动机与目标

• 建立在概率测度与泛函背景下，大偏差理论与Γ-收敛之间严格的数学联系。
• 在度量空间W(X)中构建一个统一框架，涵盖狭义收敛、Γ-收敛和大偏差作为不同类型的收敛。
• 将经典的大偏差结果（包括压缩原理和Sanov定理）推广至可测映射及高阶渐近分析。
• 通过相对熵和水平集泛函的Γ-极限，提供速率函数的变分表示。
• 将大偏差原理推广至具有非独立同分布或非平稳分量的耦合系统与过程，如相互作用粒子系统。

提出的方法

• 引入一个包含概率测度与下半连续泛函的度量空间W(X)，并配备一种统一狭义收敛与Γ-收敛的拓扑结构。
• 在紧集K ∈ K(X)上，利用紧子集上的Hausdorff拓扑，定义泛函序列的Γ-下极限与Γ-上极限。
• 建立大偏差与泛函K ↦ −log μ_n(K) 对紧集上K ↦ −log μ(K) 的Γ-收敛之间的等价性。
• 利用相对熵的变分表示，通过熵泛函的Γ-下极限推导大偏差速率的下界。
• 应用该框架，通过Laplace-Varadhan方法推导速率函数的一般表示形式，并证明三角阵列的二阶Sanov定理。
• 通过利用相对熵与速率函数的强制性及一致强制性，证明指数紧致性与收敛性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 大偏差能否在同时包含测度与泛函的统一度量空间中，被表征为某种形式的Γ-收敛？
• RQ2 速率函数能否通过相对熵或水平集泛函的Γ-极限来表示？
• RQ3 大偏差的压缩原理在多大程度上可推广至可测映射（而非仅连续映射）？
• RQ4 在何种条件下，可从其冻结分量子系统的LDP中推导出耦合系统的LDP？
• RQ5 对于非独立同分布过程（如相互作用粒子系统或马氏链），大偏差速度与速率函数的结构是怎样的？

主要发现

• 本文证明了大偏差等价于紧集上泛函K ↦ −log μ_n(K) 对K ↦ −log μ(K) 的Γ-收敛，为LDP提供了变分表征。
• 通过相对熵泛函的Γ-下极限，推导出速率函数的一般表示公式，扩展了Laplace-Varadhan方法。
• 为可测映射证明了一个新的压缩原理，推广了经典连续情形。
• 为从独立分量子系统的LDP中恢复耦合系统的LDP，提供了充分条件，且变量保持冻结。
• 针对满足大偏差原理的i.i.d.随机变量三角阵列，建立了二阶Sanov定理，得到更精细的渐近速率。
• 在速率函数满足强制性与一致强制性假设下，证明了原始测度序列的指数紧致性，从而确保LDP的有效性。