[论文解读] FROM THE SCHRODINGER PROBLEM TO THE MONGE-KANTOROVICH PROBLEM

Christian Léonard|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用 207

一句话总结

本文建立了随机动力系统下的熵最小化问题（即薛定谔问题）与经典 Monge-Kantorovich 最优传输问题之间的严格联系。通过证明当波动参数趋于零时，熵最小化解收敛至最优传输计划，本文在泛函分析框架下，利用 Γ-收敛与大偏差原理，证明了 Monge-Kantorovich 成本是薛定谔熵问题的大偏差极限。

ABSTRACT

The aim of this article is to show that the Monge-Kantorovich problem is the limit of a sequence of entropy minimization problems when a fluctuation parameter tends down to zero. We prove the convergence of the entropic values to the optimal transport cost as the fluctuations decrease to zero, and we also show that the limit points of the entropic minimizers are optimal transport plans. We investigate the dynamic versions of these problems by considering random paths and describe the connections between the dynamic and static problems. The proofs are essentially based on convex and functional analysis. We also need specific properties of Gamma-convergence which we didn't find in the literature. Hence we prove these Gamma-convergence results which are interesting in their own right.

研究动机与目标

• 在波动参数趋于零时，建立熵最小化解收敛至最优传输计划的证明。
• 证明最优传输成本作为熵成本的大偏差极限。
• 通过概率与变分方法，统一动态（路径相关）与静态（边缘分布）最优传输形式。
• 在弱紧空间中，为凸函数与约束最小化问题建立并证明新的 Γ-收敛结果。
• 构建一个泛函分析框架，使概率概念对分析学家更易理解，而无需深入掌握随机过程或大偏差理论。

提出的方法

• 使用 Γ-收敛分析波动参数 k → ∞ 时熵最小化问题的极限。
• 应用大偏差原理（LDP）刻画方差减小的随机过程 Rk 的渐近行为。
• 建立 LDP 的速率函数 C(ω) 与传输成本 c(x,y) = inf{C(ω) : ω0=x, ω1=y} 之间的对应关系。
• 证明熵问题（2）的最小化解弱收敛至极限成本 c 的最优传输计划。
• 应用压缩原理与 Laplace-Varadhan 原理，推导初始与最终位置经验测度的 LDP。
• 利用凸分析与泛函分析，证明函数列收敛所需的等 coercivity 与 Γ-liminf/limsup 条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当波动减小时，薛定谔熵问题的解如何收敛至 Monge-Kantorovich 最优传输问题的解？
• RQ2 随机过程的速率函数与极限下得到的传输成本之间存在何种精确关系？
• RQ3 能否通过大偏差原理，严格关联最优传输的动态形式（通过随机路径）与静态形式（通过联合测度）？
• RQ4 在何种条件下，熵最小化解序列收敛至最优传输计划？
• RQ5 为证明这些变分问题的收敛性，需要哪些泛函分析工具——特别是 Γ-收敛？

主要发现

• 当波动参数 k → ∞ 时，熵成本值收敛至 Monge-Kantorovich 最优传输成本。
• 熵最小化解的极限点是极限成本 c(x,y) = inf{C(ω) : ω0=x, ω1=y} 的最优传输计划。
• 对于扩散系数为 1/k 的布朗运动，极限成本为 c(x,y) = 1/2|y−x|²，且最小化解收敛至 µ0 与 µ1 之间的位移插值。
• 当二次成本问题有唯一解时，熵最小化解序列 Pk 弱收敛至确定性过程 bP = ∫ δσxy bπ(dxdy)，其中 bπ 为最优传输计划。
• 本文证明了在等 coercivity 与连续性假设下，约束最小化问题的新 Γ-收敛结果，这些结果对主要收敛定理至关重要。
• 通过压缩原理与 Laplace-Varadhan 原理，推导出初始与最终位置联合分布的 LDP，其速率函数即为传输成本。