[论文解读] A General Framework for the Semantics of Type Theory

Taichi Uemura|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2019

Logic, programming, and type systems参考文献 21被引用 14

一句话总结

本文提出了一种使用可表示的范畴家族（cwfs）的通用范畴框架，用于类型理论的语义学，统一了马丁-洛夫类型理论、两层类型理论和立方体类型理论。它建立了类型理论上的范畴与民主模型的全子2-范畴之间的双等价关系，通过一个左双伴随的语法模型函子，实现了语法与语义之间的统一对应。

ABSTRACT

We propose an abstract notion of a type theory to unify the semantics of various type theories including Martin-Löf type theory, two-level type theory and cubical type theory. We establish basic results in the semantics of type theory: every type theory has a bi-initial model; every model of a type theory has its internal language; the category of theories over a type theory is bi-equivalent to a full sub-2-category of the 2-category of models of the type theory.

研究动机与目标

• 在单一范畴框架下统一不同类型理论（如马丁-洛夫、两层和立方体类型理论）的语义学。
• 将类型理论的一般概念定义为具有可表示箭头的范畴，从而实现对语法与模型的统一处理。
• 以纯粹范畴论的方式建立理论与模型之间的对应关系，推广经典结果（如Lambek–Scott和Seely的等价性）。
• 引入‘民主模型’的概念，作为语法模型函子的像的必要图像，刻画哪些模型可由语法构造生成。
• 为高维推广（包括∞-类型理论）奠定基础，并探索从其模型2-范畴重建类型理论的方法。

提出的方法

• 将类型理论定义为一个范畴T，配备指定的可表示箭头类，推广cwfs作为模型。
• 将类型理论的模型定义为保持可表示性的函子F: T → PSh(C)，即将可表示箭头映射为预层上的可表示映射。
• 将T-理论定义为从T到Set的函子，为每个对象分配该判断形式的闭推导集合。
• 构造一个2-函子LT: ModT → ThT，为每个模型分配其内部语言，并证明它有一个左双伴随MT，为每个理论分配其语法模型。
• 将MT的像特征化为民主模型的全子2-范畴，其中‘民主’指模型对可表示箭头满足一个泛性质。
• 使用类型理论的2-范畴Rep，通过解释比较不同类型理论，并通过2-函子Mod(−)到Cat1上的2-范畴，探索从ModT重建T的方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一个通用的类型理论概念，使其在单一范畴框架下统一马丁-洛夫、两层和立方体类型理论？
• RQ2 对于此类广义类型理论，是否存在一个统一的理论与模型之间的对应关系，扩展Lambek–Scott和Seely等人的经典结果？
• RQ3 由某理论的语法模型生成的模型具有何种特征？该类模型能否被公理化？
• RQ4 能否证明语法模型构造是内部语言函子的左双伴随？这对模型2-范畴的结构有何含义？
• RQ5 能否从其模型2-范畴重建原始类型理论？在何种条件下可实现这一重建？

主要发现

• 每个类型理论T都具有一个双初始模型，意味着存在一个普遍的语法模型构造，其在等价意义下是初始的。
• 内部语言函子LT: ModT → ThT（视为局部离散的2-范畴）具有一个左双伴随MT，该函子为每个T-理论分配其语法模型。
• 语法模型函子MT在局部是等价的，从而在T-理论范畴与MT的双本质像之间诱导出一个双等价关系。
• MT的双本质像是T的民主模型的精确类，即对可表示箭头满足泛性质的模型。
• 模型2-范畴ModT在双范畴意义下是局部可表示的，暗示T可从ModT通过有限双表示对象重建。
• 该框架可自然推广至∞-类型理论，使得类型理论的范畴模型可被视为∞-类型理论的模型，从而统一了高阶与普通语义学。