[论文解读] A large deviation approach to optimal transport

Christian Léonard|ArXiv.org|Oct 8, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 10

一句话总结

本文提出了一种大偏差原理（LDP）框架，通过构建一组独立粒子系统，其经验测度满足以最优传输成本为速率函数的双重索引LDP，从而求解Monge-Kantorovich最优传输问题。关键结果是归一化相对熵的Γ-收敛于最优传输成本，为包括|x−y|p在内的广泛类别的成本函数提供了最优传输成本与传输计划的新近似方法。

ABSTRACT

A probabilistic method for solving the Monge-Kantorovich mass transport problem on $R^d$ is introduced. A system of empirical measures of independent particles is built in such a way that it obeys a doubly indexed large deviation principle with an optimal transport cost as its rate function. As a consequence, new approximation results for the optimal cost function and the optimal transport plans are derived. They follow from the Gamma-convergence of a sequence of normalized relative entropies toward the optimal transport cost. A wide class of cost functions including the standard power cost functions $|x-y|^p$ enter this framework.

研究动机与目标

• 开发一种基于大偏差的随机方法，以求解Monge-Kantorovich质量传输问题。
• 建立独立粒子经验测度的双重索引大偏差原理，其中速率函数为最优传输成本。
• 通过归一化相对熵的Γ-收敛，推导最优传输成本与传输计划的新近似结果。
• 将该框架扩展至包括|x−y|p（p≥1）在内的广义成本函数类。
• 通过LDP与相对熵的相互作用，建立粒子系统渐近行为与最优传输之间的联系。

提出的方法

• 构建一组n个独立粒子，其确定性初始位置{z_{n,i}}被选择为使得初始位置的经验测度收敛于源测度μ。
• 定义每个粒子的最终位置为X^{k}_{n,i}(1) = z_{n,i} + Y_i / √k，其中Y_i为ℝ^d中的i.i.d.标准正态向量。
• 定义最终位置的经验测度为N^k_n = (1/n) ∑ δ_{X^{k}_{n,i}(1)}，其为ℙ(ℝ^d)中的随机元素。
• 证明对于每个固定的k，{N^k_n}满足速度为n的LDP，其速率函数为ν ↦ inf_{ρ∈Π(μ,ν)} H(ρ|π^k)，其中H为相对熵，π^k为(Z, Z+Y/√k)的分布。
• 分析当n→∞和k→∞时的联合渐近行为，利用Y/√k的LDP（速度为k，速率函数为|u|²/2）。
• 证明归一化相对熵H(ρ|π^k)/k的Γ-下极限收敛于最优传输成本T_c(μ,ν)，从而导出对传输成本与传输计划的近似结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为独立粒子经验测度构造一个大偏差原理，使得其速率函数对应于最优传输成本？
• RQ2 两个尺度极限（n→∞与k→∞）之间的相互作用如何导致最优传输成本作为速率函数出现？
• RQ3 通过归一化相对熵的Γ-极限，最优传输成本能在多大程度上被近似？
• RQ4 该框架是否可扩展至二次成本以外的一般成本函数，如|x−y|^p（p≥1）？
• RQ5 能否从粒子系统的大偏差行为中恢复最优传输计划的结构？

主要发现

• 在联合极限n,k→∞下，经验测度系统{N^k_n}满足双重索引大偏差原理，其速率函数为最优传输成本T_c(μ,ν)。
• 归一化相对熵H(ρ|π^k)/k的Γ-下极限收敛于最优传输成本T_c(μ,ν)，建立了变分近似。
• 对于二次成本c(x₀,x₁)=|x₁−x₀|²/2，Y/√k的LDP速率函数恰好为此成本，从而将高斯扩散与传输成本联系起来。
• 通过相对熵的Γ-收敛，该框架可适用于包括|x−y|^p（p≥1）在内的广义成本函数类。
• 最优传输成本T_c(μ,ν)作为一系列相对熵的Γ-极限被恢复，提供了一种概率近似方案。
• 该收敛性在测度的弱收敛下保持稳健，并通过对偶性与凸分析，在有限与无限维设置下均成立。