[论文解读] A linearized stabilizer formalism for systems of finite dimension

Niel de Beaudrap|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文为任意有限维数 $d \geq 2$ 的 qudit 系统引入了一种线性化稳定器形式体系，使用离散 Weyl 算符表示类似泡利的操作，并消除了二次相位依赖。证明了在固定测量次数下模拟稳定器电路是复杂度类 $\mathsf{coMod}_d\mathsf{L}$ 完全的，且可使用 $O(\log(n)^2)$ 深度的布尔电路实现，从而通过线性代数实现高效经典模拟。

ABSTRACT

The stabilizer formalism is a scheme, generalizing well-known techniques developed by Gottesman [quant-ph/9705052] in the case of qubits, to efficiently simulate a class of transformations ("stabilizer circuits", which include the quantum Fourier transform and highly entangling operations) on standard basis states of d-dimensional qudits. To determine the state of a simulated system, existing treatments involve the computation of cumulative phase factors which involve quadratic dependencies. We present a simple formalism in which Pauli operators are represented using displacement operators in discrete phase space, expressing the evolution of the state via linear transformations modulo D <= 2d. We thus obtain a simple proof that simulating stabilizer circuits on n qudits, involving any constant number of measurement rounds, is complete for the complexity class coMod_{d}L and may be simulated by O(log(n)^2)-depth boolean circuits for any constant d >= 2.

研究动机与目标

• 消除现有针对任意维数 $d \geq 2$ 的 qudit 稳定器形式体系中的二次相位依赖。
• 基于离散 Weyl 算符开发一种统一的形式体系，将模拟简化为模 $D \in \{d, 2d\}$ 的线性变换。
• 证明在任意有限维数 $d \geq 2$ 下，固定测量次数的稳定器电路模拟是复杂度类 $\mathsf{coMod}_d\mathsf{L}$ 完全的。
• 将 Aaronson 与 Gottesman（2004 年）针对 qubit 的复杂性理论结果，推广至任意 qudit 维数。

提出的方法

• 使用离散 Weyl 算符代替 $\sigma_x^a \sigma_z^b$ 来表示泡利算符，以避免出现二次相位因子。
• 将 Clifford 群定义为在 $\mathbb{Z}_D$ 上的辛群 $\operatorname{Sp}_{2n}(\mathbb{Z}_D)$ 的群表示，其中当 $d$ 为奇数时 $D = d$，当 $d$ 为偶数时 $D = 2d$。
• 使用扩展的表格形式体系，通过线性变换追踪单位操作和测量下的态演化。
• 将测量更新表述为模 $D$ 的线性方程组，从而实现高效模拟。
• 证明稳定器电路的模拟可归约为模 $D$ 的线性方程组求解，简化了复杂性分析。
• 证明该形式体系能统一处理偶数与奇数 $d$，解决了先前处理中非统一性的问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否重新表述 qudit 的稳定器形式体系，以消除二次相位依赖，并仅依赖线性代数？
• RQ2 在任意有限维数 $d \geq 2$ 下，固定测量次数的稳定器电路模拟是否为 $\mathsf{coMod}_d\mathsf{L}$ 完全的？
• RQ3 能否证明任意固定 $d \geq 2$ 下，稳定器电路模拟的复杂度可被 $O(\log(n)^2)$ 深度布尔电路所界定？
• RQ4 如何在高维 qudit 系统中使用线性变换来建模稳定器电路中的测量操作？
• RQ5 能否在所有 $d \geq 2$ 下显式且统一地建立 Clifford 群与辛群之间的联系？

主要发现

• 本文确立了：对于任意固定的 $d \geq 2$，在 $n$ 个 qudit 上以固定测量轮数模拟稳定器电路，是复杂度类 $\mathsf{coMod}_d\mathsf{L}$ 完全的。
• 此类电路的模拟可通过 $O(\log(n)^2)$ 深度布尔电路实现，因此其属于 $\mathsf{NC}^2$。
• 通过使用离散 Weyl 算符作为基，该形式体系消除了二次相位依赖，使得所有操作均可通过模 $D \in \{d, 2d\}$ 的线性变换描述。
• 证明了 Clifford 群作为辛群 $\operatorname{Sp}_{2n}(\mathbb{Z}_D)$ 的群表示，为该形式体系提供了清晰的代数结构。
• 扩展的表格形式体系允许对测量下的态演化进行直接的线性表示，解决了先前在复合维数下处理中的缺陷。
• 该方法对偶数与奇数 $d$ 提供了统一处理，解决了早期形式体系（如 Gottesman（1998）与 Hostens 等人（2005））中的非统一性问题。