[论文解读] A new asymptotic enumeration technique: the Lovasz Local Lemma

Linyuan Lü, Łászló A. Székely|arXiv (Cornell University)|May 25, 2009

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 20被引用 11

一句话总结

本文将不规则洛瓦兹局部引理（lopsided Lovász Local Lemma）新颖地应用于随机图中的渐近计数问题，特别针对完全图中的匹配以及指定围长的度序列。该研究建立了与引理下界精确匹配的紧致渐近界，从而为置换和拉丁矩形计数提供了新证明，也给出了正则图计数的新结果，并首次实现了基于度序列与围长的图计数；此外，还以一种新的概率方法证明了埃拉多斯关于高围长、高色数图存在的定理，且在较温和的度序列条件下成立。

ABSTRACT

Our previous paper applied a lopsided version of the Lovász Local Lemma that allows negative dependency graphs to the space of random injections from an $m$-element set to an $n$-element set. Equivalently, the same story can be told about the space of random matchings in $K_{n,m}$. Now we show how the cited version of the Lovász Local Lemma applies to the space of random matchings in $K_{2n}$. We also prove tight upper bounds that asymptotically match the lower bound given by the Lovász Local Lemma. As a consequence, we give new proofs to results on the enumeration of $d$-regular graphs. The tight upper bounds can be modified to the space of matchings in $K_{n,m}$, where they yield as application asymptotic formulas for permutation and Latin rectangle enumeration problems. The strength of the method is shown by a new result: enumeration of graphs by degree sequence or bipartite degree sequence and girth. As another application, we provide a new proof to the classical probabilistic result of Erd\H os that showed the existence of graphs with arbitrary large girth and chromatic number. If the degree sequence satisfies some mild conditions, almost all graphs with this degree sequence and prescribed girth have high chromatic number.

研究动机与目标

• 将不规则洛瓦兹局部引理的应用扩展至完全图 $K_{2n}$ 中的随机完美匹配空间，以实现新的渐近计数技术。
• 在随机匹配的背景下，构建负依赖图的框架，克服先前方法的局限性。
• 推导出与洛瓦兹局部引理下界渐近匹配的紧致上界，确保计数结果的精确性。
• 将该框架应用于新问题，包括基于度序列与围长的图及二分图计数，以及重新证明关于高围长与高色数图的经典结果。

提出的方法

• 为定义为将部分匹配扩展为 $K_{2n}$ 中完美匹配的事件构建负依赖图，当两个部分匹配的并集不再构成匹配时即形成边。
• 使用精心选择的一组 $x_i$ 值，将不规则洛瓦兹局部引理应用于推导出所有坏事件均不发生的概率的下界。
• 利用泊松近似与条件概率估计，控制具有给定度序列的随机图中无短圈的概率。
• 通过配置模型与指数生成函数，推导出具有指定度序列且围长至少为 $g$ 的图的数量的渐近公式。
• 首先将该框架应用于正则图以简化分析，再推广至任意度序列。
• 通过展示在较温和的度序列条件下，几乎所有围长 $g \geq 3$ 的此类图均不可 $k$-着色，重新审视埃拉多斯关于高围长与高色数图结果的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 不规则洛瓦兹局部引理能否有效应用于 $K_{2n}$ 中的随机完美匹配空间，以获得紧致的渐近计数结果？
• RQ2 给定度序列与围长 $g$ 的图的数量的紧致上界是什么？它们如何与洛瓦兹局部引理的下界相匹配？
• RQ3 该框架能否用于重新证明或强化关于置换与拉丁矩形计数的已知结果？
• RQ4 在何种度序列条件下，几乎所有具有该度序列与围长 $g$ 的图均具有高色数？
• RQ5 该方法能否在更一般的新设定下，证明埃拉多斯关于高围长、高色数图存在的结果？

主要发现

• 具有指定度序列且围长至少为 $g \geq 4$ 的二分图数量的渐近表达式为 $ (1+o(1)) \frac{N!}{\prod_i d_i! \delta_i!} \exp\Bigl(-\sum_{i=1}^{(g-2)/2} \frac{(\bar{D})^i (\bar{\Delta})^i}{2i (\bar{d})^{2i}}\Bigl) $，其中 $N$ 为边数。
• 对于具有给定度序列且不含集合 $\mathcal{C} \subseteq \{4,6,\dots,g-2\}$ 中长度的圈的图，其数量的渐近表达式为 $ (1+o(1)) \frac{N!}{\prod_i d_i! \delta_i!} \exp\Bigl(-\frac{\bar{D} \bar{\Delta}}{2(\bar{d})^2} - \sum_{i \in \mathcal{C}} \frac{(\bar{D})^i (\bar{\Delta})^i}{2i (\bar{d})^{2i}}\Bigl) $。
• 若 $\bar{d} \geq 3$ 且 $k^2 < (1 - \epsilon) \frac{\bar{d}}{2 \log 2}$，则几乎所有具有给定度序列且围长至少为 $g \geq 3$ 的图均不可 $k$-着色。
• 该方法为埃拉多斯关于存在任意大围长与色数的图的结果提供了新证明，且现在在较温和的度序列条件下成立。
• 该框架为若干经典计数问题（包括置换、拉丁矩形与正则图）提供了初等且统一的证明。
• 所推导的上界渐近紧致，且与洛瓦兹局部引理的下界完全匹配，证实了该方法的精确性。