[论文解读] A new class of three-weight linear codes from weakly regular plateaued functions

Sihem Mesnager, Ferruh Özbudak+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文提出了一类在任意特征的有限域上定义的新三权线性码，其构造基于弱正则平顶函数。通过将先前关于弯函数的工作推广，作者推导出这些码的显式权重分布，并证明在某些条件下其非零码字为最小码字，使其适用于秘密共享方案。

ABSTRACT

Linear codes with few weights have many applications in secret sharing schemes, authentication codes, communication and strongly regular graphs. In this paper, we consider linear codes with three weights in arbitrary characteristic. To do this, we generalize the recent contribution of Mesnager given in [Cryptography and Communications 9(1), 71-84, 2017]. We first present a new class of binary linear codes with three weights from plateaued Boolean functions and their weight distributions. We next introduce the notion of (weakly) regular plateaued functions in odd characteristic $p$ and give concrete examples of these functions. Moreover, we construct a new class of three-weight linear $p$-ary codes from weakly regular plateaued functions and determine their weight distributions. We finally analyse the constructed linear codes for secret sharing schemes.

研究动机与目标

• 将少权线性码的构造从弯函数推广至任意特征下的弱正则平顶函数。
• 为奇素数幂阶有限域上的（弱）正则平顶函数建立理论框架，以定义和分析其性质。
• 基于这些函数，构造显式的三权线性 $p$-元和二元码族，并确定其权重分布。
• 分析所构造码中码字的最小性，以应用于秘密共享方案。
• 证明所提出的码与已知码不等价，因其参数集具有唯一性。

提出的方法

• 将平顶函数的概念推广至奇特征 $p$，通过沃尔什变换性质引入弱正则平顶函数。
• 利用沃尔什变换和迹函数，在 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上基于平顶函数定义线性码的通用构造方法。
• 应用矩分析和勒让德符号性质，计算所构造码的权重分布。
• 利用帕塞瓦尔恒等式及二次剩余的性质，推导出每种权重的码字的确切数量。
• 利用准则 $\frac{p-1}{p} < \frac{w_{\text{min}}}{w_{\text{max}}}$，在 $m$ 和 $r$ 满足特定条件时，证明所有非零码字的最小性。
• 分析对偶码结构，以评估其在秘密共享中的适用性，重点关注最小码字。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在任意特征下，系统地从弱正则平顶函数构造三权线性码？
• RQ2 从 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上的弱正则平顶函数导出的线性码，其精确权重分布是什么？
• RQ3 在何种条件下，所构造码的所有非零码字均为最小码字？
• RQ4 新码的参数与文献中已知码相比如何？
• RQ5 勒让德符号和迹函数在确定码的权重分布中起什么作用？

主要发现

• 从平顶布尔函数构造出一族新的三权二元线性码，其权重分布被显式确定。
• 对于奇素数 $p$，本文引入弱正则平顶 $p$-元函数，并在 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上提供具体实例。
• 所构造的 $p$-元码具有三个不同的非零权重，其确切数量通过勒让德符号求和与矩分析推导得出。
• 当 $m \geq 4$ 且 $0 \leq r \leq m-4$ 时，$p$-元码的所有非零码字均为最小码字，满足条件 $\frac{p-1}{p} < \frac{w_{\text{min}}}{w_{\text{max}}}$。
• 当 $m \geq 3$ 且 $0 \leq r \leq m-3$ 时，若 $m+r$ 为奇数，则相同的最小性结果成立。
• 所构造的码与已知码不等价，因其参数与文献中已报道的任何参数均不匹配。