[论文解读] A New Integrable Ising-type Model from 2d $\mathcal{N}$=(2,2) Dualities

Shahriyar Jafarzade, Zainab Nazari|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 44被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新的可积伊辛型模型，该模型源自超对称 gauge 理论中二维 $χ$=(2,2) 的赛伯格对偶性。通过利用 gauge/YBE 对应关系，作者利用雅可比 theta 函数求解了星-三角关系，得到了一种在圆上具有连续自旋变量、且 Boltzmann 权重以模形式表示的模型。其主要贡献在于提出了一种新的杨-巴克斯方程解，该解可生成统计力学中精确可解的顶点、面及星-三角模型。

ABSTRACT

We show that the equality of 2d $\mathcal{N}$=(2,2) supersymmetric indices in Seiberg-type duality leads to a new integrable Ising-type model. The emergence of the new model is the result of correspondence between the supersymmetric $SU(2)$ quiver gauge theories and the Yang-Baxter equation. Using this correspondence, we solve the star-triangle relation and obtain the two-dimensional exactly solvable spin model. The model corresponding to our solution possesses continuous spin variables on the circle and the Boltzmann weights are demonstrated in terms of Jacobi theta function. Using the solution of the star-triangle relation, we also construct interaction-round-a-face and vertex models.

研究动机与目标

• 建立二维 $χ$=(2,2) 超对称 gauge 理论与可积统计模型之间的一种新联系。
• 利用 gauge/YBE 对应关系，推导星-三角关系的新解。
• 构建一个具有圆上连续自旋变量的二维精确可解自旋模型。
• 证明所得模型在星-三角、顶点及围绕面相互作用形式下满足杨-巴克斯方程。
• 通过 $SU(2)$ 规范理论（6 个味）与其对偶理论（15 个介子）之间超对称指数相等，提供该解的物理实现。

提出的方法

• 利用 gauge/YBE 对应关系，作者将 $SU(2)$ 量子图 gauge 理论的超对称指数与统计模型的划分函数相联系。
• 通过杨-巴克斯方程求解星-三角关系，以雅可比 theta 函数表示自旋变量 $\sigma \in [0, 2\pi)$ 的 Boltzmann 权重。
• 该解涉及与规范与味对称性 R-荷及 fugacities 相关的谱参数 $\alpha, \beta, \gamma$。
• 利用 theta 函数的模性质，构建自相互作用项 $\mathcal{S}(\sigma)$ 与 R-因子 $\mathcal{R}(\alpha, \beta, \gamma)$。
• 利用星-三角解，通过积分恒等式生成杨-巴克斯方程在围绕面（IRF）与顶点类型下的等价解。
• 通过附录中星-三角与三角-星关系的显式积分恒等式与一致性检验，验证了该构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 二维 $χ$=(2,2) 超对称 gauge 理论中的赛伯格对偶性如何导致一种新的可积统计模型？
• RQ2 具有连续自旋变量的新伊辛型模型的 Boltzmann 权重的显式形式是什么？
• RQ3 在本框架下，gauge/YBE 对应关系如何实现杨-巴克斯方程？
• RQ4 该星-三角解能否通过相同框架推广至顶点与 IRF 模型？
• RQ5 R-因子与自相互作用项在规范理论数据下的物理解释是什么？

主要发现

• 构建了一种新的可积伊辛型模型，其自旋变量为连续的 $\sigma \in [0, 2\pi)$，标志着与离散自旋模型的显著区别。
• Boltzmann 权重显式表示为 $\mathcal{W}_{\alpha}(\sigma_i, \sigma_j) = \frac{\theta(e^{-\alpha - \eta \mp i(\sigma_i \pm \sigma_j)}; q)}{\theta(e^{\alpha - \eta \pm i(\sigma_i \pm \sigma_j)}; q)}$，涉及雅可比 theta 函数。
• 自相互作用项 $\mathcal{S}(\sigma)$ 表示为 $\frac{1}{4\pi}\left(\frac{(q;q)^2_\infty}{\theta(y;q)}\right)\frac{\theta(e^{\pm 2i\sigma};q)}{\theta(e^{-2\eta \pm 2i\sigma};q)}$，编码了规范多重态的贡献。
• R-因子 $\mathcal{R}(\alpha, \beta, \gamma)$ 作为 theta 函数之比的乘积被推导出，确保与 YBE 的一致性。
• 该解满足星-三角关系，并通过积分恒等式用于构造等价的顶点与 IRF 模型。
• 该模型在物理上根植于 $SU(2)$ 规范理论（6 个味）与其赛伯格对偶理论（15 个介子）之间超对称指数相等的事实。