[论文解读] Supersymmetric index on T^2 x S^2 and elliptic genus

Masazumi Honda, Yutaka Yoshida|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 51被引用 19

一句话总结

本文通过超对称局部化，精确建立了在 $T^2 \times S^2$ 上的 4d $χ=1$ 超对称 gauge 理论的超对称路径积分与 2d $(0,2)$ 超对称 gauge 理论的椭圆亏格之间的对应关系。通过完整考虑 gaugino 零模式和规范 holonomy 模式，作者推导出与 Jefferey-Kirwan 残留公式一致的公式，揭示了 4d Seiberg 对偶性蕴含 2d $(0,2)$ 三重性，并识别出两个不同的 4d 理论可产生 K3 的椭圆亏格——暗示了一种新的 4d 对偶性。

ABSTRACT

We study partition function of four-dimensional $\mathcal{N}=1$ supersymmetric field theory on $T^2 imes S^2$. By applying supersymmetry localization, we show that the $T^2 imes S^2$ partition function is given by elliptic genus of certain two-dimensional $\mathcal{N}=(0,2)$ theory. As an application, we discuss a relation between 4d Seiberg duality duality and 2d $(0,2)$ triality, proposed by Gadde, Gukov and Putrov. In other examples, we identify 4d theories giving elliptic genera of K3, M-strings and E-strings. In the example of K3, we find that there are two 4d theories giving the elliptic genus of K3. This would imply new four-dimensional duality.

研究动机与目标

• 通过超对称局部化，精确推导在 $T^2 \times S^2$ 上的 4d $χ=1$ 超对称 gauge 理论的超对称路径积分。
• 建立 4d 路径积分与 2d $(0,2)$ 超对称 gauge 理论的椭圆亏格之间的精确映射。
• 探讨该映射对 4d Seiberg 对偶性与 2d $(0,2)$ 三重性的含义，如 Gadde、Gukov 和 Putrov 所提出的。
• 识别出能重现已知 2d 椭圆亏格（如 K3、M-strings 和 E-strings）的 4d 理论。

提出的方法

• 应用超对称局部化计算 $T^2 \times S^2$ 上的路径积分，将局部化固定点识别为 $T^2$ 上的 holonomy 与 gaugino 零模式。
• 使用 Jefferey-Kirwan 残留公式计算路径积分，同时包含非零模式的行列式与零模式的贡献。
• 在 $T^2 \times S^2$ 上构建 4d 理论，配置适当的背景 gauge 场与边界条件，以保持超对称性。
• 通过将动量算符与 R-charge 算符映射为 2d 理论中的味量子数与 R-对称性量子数，将 4d 路径积分映射为 2d $(0,2)$ 理论的椭圆亏格。
• 推导路径积分的模形式性质，并与已知的 2d 椭圆亏格结果进行一致性验证。
• 分析单极子零模式与 $S^2$ 上球谐函数的作用，以正确捕捉一阶量子修正行列式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $T^2 \times S^2$ 上的 4d $χ=1$ 超对称 gauge 理论的超对称路径积分如何与 2d 椭圆亏格相关？
• RQ2 是否能通过局部化方法完全计算 $T^2 \times S^2$ 上的 4d 路径积分，包括 gaugino 零模式？
• RQ3 4d 理论中的 Seiberg 对偶性是否意味着对应 2d 理论中的 $(0,2)$ 三重性？
• RQ4 哪些 4d 理论能重现 K3、M-strings 与 E-strings 的椭圆亏格？
• RQ5 是否存在一种新的 4d 对偶性，对应于相同的 2d 椭圆亏格？

主要发现

• 在 $T^2 \times S^2$ 上的 4d $χ=1$ 超对称 gauge 理论的路径积分，精确等于 2d $(0,2)$ 超对称 gauge 理论的椭圆亏格。
• 路径积分通过 Jefferey-Kirwan 残留公式计算，其贡献来自 holonomy 与 gaugino 零模式，解决了先前分析中不完整的问题。
• 仅当正确包含 gaugino 零模式时，4d 路径积分才与 2d 椭圆亏格匹配，纠正了早期研究中忽略这些模式的错误。
• 发现两个不同的 4d 理论可产生相同的 K3 椭圆亏格，暗示了一种此前未知的新 4d 对偶性。
• 4d SQCD 理论之间的 Seiberg 对偶性，意味着其对应 2d 理论中的 $(0,2)$ 三重性，为 Gadde-Gukov-Putrov 的猜想提供了场论实现。
• 该构造成功从 4d 超对称 gauge 理论中重现了 M-strings 与 E-strings 的椭圆亏格，证实了该映射的普遍性。