[论文解读] A New Kind of High-Order Multi-step Schemes for Forward Backward Stochastic Differential Equations

Weidong Zhao, Yu Fu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的高阶多步数值格式，用于求解耦合的前向-后向随机微分方程（FBSDEs），在前向SDE中采用欧拉方法，同时在后向SDE的求解中保持高阶精度。该方法通过近似从BSDE导出的参考ODE中涉及的条件数学期望及其导数，实现高阶收敛性，在解耦和完全耦合的FBSDEs的数值实验中均表现出优越的效率与精度。

ABSTRACT

In this work, we concern with the high order numerical methods for coupled forward-backward stochastic differential equations (FBSDEs). Based on the FBSDEs theory, we derive two reference ordinary differential equations (ODEs) from the backward SDE, which contain the conditional expectations and their derivatives. Then, our high order multi-step schemes are obtained by carefully approximating the derivatives and the conditional expectations in the reference ODEs. Motivated by the local property of the generator of diffusion processes, the Euler method is used to solve the forward SDE, however, it is noticed that the numerical solution of the backward SDE is still of high order accuracy. Such results are obviously promising: on one hand, the use of Euler method (for the forward SDE) can dramatically simplifies the entire computational scheme, and on the other hand, one might be only interested in the solution of the backward SDE in many real applications such as option pricing. Several numerical experiments are carried out to demonstrate the effectiveness of the numerical method.

研究动机与目标

• 开发高效的高阶数值格式求解耦合FBSDEs，此类方程因前向与后向分量之间的相互依赖性而具有挑战性。
• 通过在前向SDE中使用简单的欧拉格式，降低高阶方法的计算负担，同时在后向解中保持高阶精度。
• 将计算效率集中于后向SDE，这在诸如期权定价等应用中通常是主要关注目标。
• 建立理论与数值框架，确保即使前向SDE采用低阶方法求解，仍能实现高阶收敛性。
• 在扩散系数依赖于后向变量的解耦与完全耦合FBSDEs上验证该方法。

提出的方法

• 从后向SDE推导出两个包含条件数学期望及其导数的参考常微分方程（ODEs）。
• 使用高阶多步技术近似条件数学期望及其导数，以构建数值格式。
• 对前向SDE应用欧拉方法，显著降低计算成本，同时在后向解中保持高阶精度。
• 利用扩散过程生成元的局部性质，证明在不降低整体收敛性的情况下，可安全使用欧拉格式求解前向分量。
• 构建一个实现后向分量中$Y_0$与$Z_0$的$k$阶收敛的多步格式。
• 通过改变步长与阶数$k=1$至$k=4$的数值实验验证该格式，测量收敛率与运行时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为耦合FBSDEs设计一种高阶多步格式，在使用低阶方法（欧拉法）求解前向SDE的同时，仍保持后向解的高阶精度？
• RQ2 所提格式在解耦与完全耦合FBSDEs中的收敛率如何，尤其当扩散系数依赖于$Y_t$与$Z_t$时？
• RQ3 随着多步格式阶数$k$的增加，计算成本如何变化？该格式在高阶$k$下是否仍保持高效？
• RQ4 当使用仅一阶精度的欧拉方法求解前向SDE时，该方法是否仍能实现高阶收敛？
• RQ5 在具有已知解析解的基准问题上，该格式在实际应用中的表现如何？

主要发现

• 所提多步格式在后向SDE的$Y_0$与$Z_0$上均实现$k$阶收敛，数值实验中收敛率趋近于$k$。
• 在示例4中，当$k=4$时，$|Y^0 - Y_0|$的收敛率约为4.006，$|Z^0 - Z_0|$的收敛率约为4.055，证实了高阶精度。
• 在示例5中，对于一个完全耦合的FBSDE，其中$\sigma$依赖于$X_t, Y_t, Z_t$，当$k=4$时，$|Y^0 - Y_0|$的收敛率为3.996，$|Z^0 - Z_0|$的收敛率为3.911，表现出强鲁棒性。
• 运行时间（RT）随$k$增加而上升，但该格式仍保持高效，示例5中$k=1$至$k=4$对应的RT值分别为13.982、40.198、182.862和1267.329。
• 前向SDE采用欧拉方法显著降低了计算成本，同时在后向解中保持高阶精度，使该格式在期权定价等应用中极具效率。
• 该方法对解耦与完全耦合FBSDEs均有效，即使扩散系数依赖于后向变量，亦通过多个具有精确解的数值示例得到验证。