[论文解读] A new operational interpretation of relative entropy and trace distance between quantum states

Anurag Anshu, Rahul Jain+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2014

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 29被引用 6

一句话总结

本文通过一种通信协议，为量子相对熵提供了新的操作性解释：爱丽丝与鲍勃共享纠缠，鲍勃可利用 O((c+1)/ε⁴) 比特信息，准备出与爱丽丝的态接近的态，保真度 ≥1−ε，其中 c 为两态之间的相对熵。此外，该工作还提出了一种具有操作意义的量子相关采样协议，以迹距离作为相似性度量，为纠缠辅助量子通信复杂性中的直接和定理提供了新证明。

ABSTRACT

In this paper we present a new operational interpretation of relative-entropy between quantum states in the form of the following protocol. P: Alice gets to know the eigen-decomposition of a quantum state $ ho$. Bob gets to know the eigen-decomposition of a quantum state $\sigma$. Both Alice and Bob know $c= S( ho || \sigma)$, the relative entropy between $ ho$ and $\sigma$ and an error parameter $\epsilon$. Alice and Bob use shared entanglement and after communication of $O((c +1)/\epsilon^4)$ bits from Alice to Bob, Bob ends up with a quantum state $ ho'$ such that $F( ho, ho') \geq 1 - \epsilon$, where $F$ represents fidelity. This result can be considered as a non-commutative generalization of a result due to Braverman and Rao [2011] where they considered the special case when $ ho$ and $\sigma$ are classical probability distributions. We use protocol P to obtain an alternate proof of a direct-sum result for entanglement assisted quantum one-way communication complexity for all relations, which was first shown by Jain, Radhakrishnan and Sen [2005, 2008]. We also present a variant of protocol in which Bob has some side information about the state with Alice. We show that in such a case, the amount of communication can be further reduced, based on the side information that Bob has. Our second result provides a new operational meaning to trace distance between quantum states in the form of a protocol which can be viewed as a quantum analogue of the classical correlated-sampling protocol, which is widely used, for example by Holenstein [2007] in his proof of a parallel-repetition theorem for two-player one-round games. Recently Dinur, Steurer and Vidick [2013] have shown another version of a quantum correlated sampling protocol different from our protocol, and used it in their proof of a parallel-repetition theorem for two-prover one-round entangled projection games.

研究动机与目标

• 通过具有有界误差的通信协议，为量子相对熵提供新的操作性解释。
• 利用迹距离作为态相似性的度量，将经典相关采样结果推广至量子领域。
• 为纠缠辅助单向量子通信复杂性的直接和定理提供另一种证明。
• 探讨鲍勃持有的附加信息如何降低协议中的通信成本。
• 建立量子版本的经典相关采样，适用于涉及并行重复的证明。

提出的方法

• 爱丽丝与鲍勃共享纠缠，通过协议使爱丽丝向鲍勃发送 O((c+1)/ε⁴) 比特经典信息，其中 c = S(ρ||σ) 为两已知态之间的相对熵。
• 该协议确保鲍勃制备的态 ρ′ 满足保真度 F(ρ, ρ′) ≥ 1−ε，利用了量子态制备与测量技术。
• 该方法扩展至鲍勃对爱丽丝态具有附加信息的情形，通信成本根据附加信息与态之间的互信息而降低。
• 该方法使用量子信息理论工具，包括保真度界与纠缠辅助协议，以实现所需态的近似。
• 基于迹距离构建了量子相关采样协议，其与复杂性理论中使用的经典相关采样类似。
• 该协议被用于重新证明纠缠辅助单向量子通信复杂性中的直接和结果，利用了相对熵的操作性意义。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过具有有界误差的通信协议，对量子态之间的相对熵进行操作性解释？
• RQ2 当鲍勃对爱丽丝的态具有附加信息时，其对制备接近爱丽丝态的通信成本有何影响？
• RQ3 能否构建一种以迹距离作为准确度量的量子相关采样协议？
• RQ4 该协议是否能为纠缠辅助量子通信复杂性中的直接和定理提供新证明？
• RQ5 与丁努尔、施泰勒与维迪克等人的量子相关采样构造相比，该协议有何异同？

主要发现

• 协议通过 O((c+1)/ε⁴) 比特通信实现保真度 F(ρ, ρ′) ≥ 1−ε，其中 c = S(ρ||σ) 为两态之间的相对熵。
• 通信成本与量子态的维度无关，仅依赖于相对熵与误差参数。
• 当鲍勃对爱丽丝的态具有附加信息时，通信成本可依据附加信息与态之间的互信息而降低。
• 该协议为量子态之间的迹距离赋予了新的操作性意义，类似于经典相关采样。
• 该协议为纠缠辅助单向量子通信复杂性的直接和结果提供了另一种证明，通过新的信息理论路径确认了先前结果。
• 该方法在量子信息度量与通信复杂性之间建立了桥梁，为分析量子协议提供了新工具。