[论文解读] A note on robust preconditioners for monolithic fluid-structure interaction systems of finite element equations

Ulrich Langer, Huidong Yang|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 55被引用 12

一句话总结

该论文提出了一种基于耦合有限元矩阵近似 $LDU$ 分解的鲁棒预条件器，用于单体流固耦合（FSI）系统。通过使用近似因子构造 $L D U$ 并利用专门设计的代数多重网格（AMG）循环来近似舒尔补（Schur complement），该方法实现了对网格、流体密度和时间步长大小的鲁棒性——与以往的预条件器相比，GMRES 迭代次数减少了约 10 倍。

ABSTRACT

In this note, we consider preconditioned Krylov subspace methods for discrete fluid-structure interaction problems with a nonlinear hyperelastic material model and covering a large range of flows, e.g, water, blood, and air with highly varying density. Based on the complete $LDU$ factorization of the coupled system matrix, the preconditioner is constructed in form of $\hat{L}\hat{D}\hat{U}$, where $\hat{L}$, $\hat{D}$ and $\hat{U}$ are proper approximations to $L$, $D$ and $U$, respectively. The inverse of the corresponding Schur complement is approximated by applying one cycle of a special class of algebraic multigrid methods to the perturbed fluid sub-problem, that is obtained by modifying corresponding entries in the original fluid matrix with an explicitly constructed approximation of the exact perturbation coming from the sparse matrix-matrix multiplications.

研究动机与目标

• 解决现有预条件 Krylov 方法在单体 FSI 系统中对流体密度变化缺乏鲁棒性的问题。
• 克服块高斯-赛德尔（block Gauss-Seidel）和 ILU 类型预条件器在网格依赖性和时间步长敏感性方面的局限。
• 开发一种预条件器，使其在包括水和空气在内的广泛流体特性范围内保持高效性和收敛鲁棒性。
• 在不依赖复杂完全耦合的单体多重网格求解器的前提下实现鲁棒性，从而降低实现和计算开销。

提出的方法

• 通过使用 $ {L}$、$ {D}$ 和 $ {U}$ 作为精确 $L$、$D$ 和 $U$ 因子的近似，对耦合 FSI 系统矩阵进行近似 $LDU$ 分解来构建预条件器。
• 通过在扰动后的流体子矩阵上应用一个专门设计的代数多重网格（AMG）方法的单次循环，来近似舒尔补的逆。
• 扰动项通过稀疏矩阵-矩阵乘法显式推导得出，以捕捉结构对流体系统耦合效应的影响。
• 通过使用低秩近似和结构化光滑算子，避免完整的 $LDU$ 分解，从而保持计算效率。
• 将预条件器集成到 GMRES 和灵活 GMRES 求解器中，并在不同流体密度和网格细化条件下评估其性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于近似 $LDU$ 分解的预条件器是否能在不同流体密度下实现单体 FSI 系统的鲁棒收敛？
• RQ2 所提出的预条件器是否对网格细化和时间步长大小保持鲁棒性？
• RQ3 与块高斯-赛德尔、SSOR 和 ILU(0) 类型预条件器相比，新预条件器在迭代次数和可扩展性方面表现如何？
• RQ4 能否通过在扰动流体矩阵上使用单次 AMG 循环高效地近似舒尔补的逆？

主要发现

• 与旧的预条件器如 $ {P}_{ILU}$ 和 $ {P}_{SSOR}$ 相比，新预条件器将 GMRES 迭代次数减少了约 10 倍，尤其在低密度流体（如空气，$ ho_f = 0.0011$ g/cm³）中表现显著。
• 当 $ ho_f = 1.1$ g/cm³（接近水）时，该方法对附加质量效应表现出鲁棒性，即使在这一已知挑战下也保持了较低的迭代次数。
• 在时间步长 $ {t} = 0.00125$ ms 时，三种不同网格层级的迭代次数几乎保持不变，表明对网格细化具有鲁棒性。
• 该方法在宽范围流体密度（$ ho_f \in \{1.1, 0.11, 0.011, 0.0011\}$ g/cm³）下保持稳定性能，迭代次数要么稳定，要么随密度降低而减少。
• 灵活 GMRES 方法性能略逊于标准 GMRES，但两者均显著优于以往方法。