[论文解读] A partial order on Motzkin paths

Wenjie Fang|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文引入了一种基于Tamari格的Motzkin路径偏序关系，表明尽管整个偏序集并非格，但每个连通分支同构于经典Tamari格中的一个区间。作者使用催化变量方法，推导出该偏序集中以对角步和接触点加权的区间的代数生成函数，并将结果推广至Schröder路径。

ABSTRACT

The Tamari lattice, defined on Catalan objects such as binary trees and Dyck paths, is a well-studied poset in combinatorics. It is thus natural to try to extend it to other families of lattice paths. In this article, we fathom such a possibility by defining and studying an analogy of the Tamari lattice on Motzkin paths. While our generalization is not a lattice, each of its connected components is isomorphic to an interval in the classical Tamari lattice. With this structural result, we proceed to the enumeration of components and intervals in the poset of Motzkin paths we defined. We also extend the structural and enumerative results to Schröder paths. We conclude by a discussion on the relation between our work and that of Baril and Pallo (2014).

研究动机与目标

• 将Tamari格结构从Dyck路径扩展至Motzkin路径，即更广泛的格路类。
• 研究基于Tamari启发的覆盖关系（通过谷变换定义）下Motzkin路径的偏序集结构。
• 枚举Motzkin路径偏序集的连通分支与区间，并将结果推广至Schröder路径。
• 阐明该构造与先前工作的关系，特别是Baril与Pallo关于Motzkin词的偏序集工作。
• 探讨广义Tamari格的含义，并研究向m-投票路径的潜在推广。

提出的方法

• 通过识别谷（东步后接北步或对角步）并应用局部变换，将谷子路径与前序东步互换，定义Motzkin路径上的覆盖关系。
• 利用Callan将Motzkin路径与特定Dyck路径族之间的双射，转移序结构，并证明每个连通分支同构于经典Tamari格中的一个区间。
• 采用含一个催化变量的函数方程，依据[BMJ06]中的技术，推导Motzkin路径偏序集中区间的生成函数。
• 通过调整生成函数以考虑长度为2的对角步，将相同方法应用于Schröder路径。
• 通过代数运算与代换，将生成函数 $ G(t,u) $ 表示为三次方程的根 $ X' $ 的形式。
• 通过结构与计数分析，建立Motzkin路径偏序集与广义Tamari格之间的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否自然地将Tamari格结构扩展至Motzkin路径（即Dyck路径的推广）？
• RQ2 使用类似Tamari的覆盖关系在Motzkin路径上定义的偏序集的全局结构如何？
• RQ3 该偏序集的连通分支与经典Tamari格中的区间有何关系？
• RQ4 以对角步数与接触点数加权的该偏序集中区间的生成函数是什么？
• RQ5 Motzkin路径的结果如何推广至允许更长对角步的Schröder路径？

主要发现

• 在定义的覆盖关系下，Motzkin路径的偏序集并非格，但可分解为连通分支。
• 该偏序集的每个连通分支同构于经典Tamari格中的一个区间，建立了深刻的结构联系。
• Motzkin路径偏序集中区间的生成函数 $ G(t,u) $（以对角步数与接触点数加权）是代数的，并满足含催化变量的函数方程。
• 该生成函数明确表示为三次方程 $ tX'^3 + 2ut^2X'^2 + X' - 1 = 0 $ 的根 $ X' $ 的有理函数形式。
• Motzkin路径的结果被推广至Schröder路径，其中生成函数 $ G(t,u) $ 满足 $ G(t^2,u) = F_1(t,ut) $，并计算了 $ G(t,1) $ 的前几项系数。
• 本文阐明了与Baril和Pallo工作的差异源于二叉树与Dyck路径之间双射的不同，导致在Tamari格中嵌入方式不同。