[论文解读] A Polylogarithimic Approximation Algorithm for Edge-Disjoint Paths with Congestion 2

Julia Chuzhoy, Shi Li|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用 32

一句话总结

本文提出了一种针对边不相交路径问题（带冲突2，EDPwC）的随机化多对数近似算法，通过舍入标准多商品流松弛，实现了 $ O(\operatorname{poly}\log k) $-近似。关键贡献在于首次实现了 EDPwC 在冲突2下的次多项式近似，显著改进了先前的界，并逼近了通过该松弛方法可达到的理论近似极限。

ABSTRACT

In the Edge-Disjoint Paths with Congestion problem (EDPwC), we are given an undirected n-vertex graph G, a collection M={(s_1,t_1),...,(s_k,t_k)} of demand pairs and an integer c. The goal is to connect the maximum possible number of the demand pairs by paths, so that the maximum edge congestion - the number of paths sharing any edge - is bounded by c. When the maximum allowed congestion is c=1, this is the classical Edge-Disjoint Paths problem (EDP). The best current approximation algorithm for EDP achieves an $O(\sqrt n)$-approximation, by rounding the standard multi-commodity flow relaxation of the problem. This matches the $Ω(\sqrt n)$ lower bound on the integrality gap of this relaxation. We show an $O(poly log k)$-approximation algorithm for EDPwC with congestion c=2, by rounding the same multi-commodity flow relaxation. This gives the best possible congestion for a sub-polynomial approximation of EDPwC via this relaxation. Our results are also close to optimal in terms of the number of pairs routed, since EDPwC is known to be hard to approximate to within a factor of $ ildeΩ((\log n)^{1/(c+1)})$ for any constant congestion c. Prior to our work, the best approximation factor for EDPwC with congestion 2 was $ ilde O(n^{3/7})$, and the best algorithm achieving a polylogarithmic approximation required congestion 14.

研究动机与目标

• 设计一种针对边不相交路径问题（带冲突2，EDPwC）的更好近似算法，其中边冲突被限制为2。
• 克服经典边不相交路径（EDP）问题中标准多商品流松弛的 $ \Omega(\sqrt{n}) $ 整数规划间隙障碍。
• 仅使用多商品流线性规划松弛，为 EDPwC 在冲突2下实现次多项式近似因子。
• 弥合已知的难解性结果与 EDPwC 在低冲突情况下的可实现近似比之间的差距。
• 为 EDPwC 在冲突2下提供接近最优的近似，逼近通过标准线性规划松弛可达到的理论极限。

提出的方法

• 该算法使用标准多商品流线性规划松弛对 EDPwC 与冲突2进行随机舍入。
• 基于终端集的生成树，构建需求对的树分解，以确保冲突有界。
• 针对每个终端，构建连接源-汇对的路由树，同时保持边冲突不超过2。
• 根据树成员关系将需求对划分为子集，并使用贪心选择过程确保至少有一半的对被成功路由。
• 通过有控制、有结构的方式，确保每条边最多出现在两条路径中，从而实现对共享边的谨慎路径分配。
• 分析利用了树分解的结构以及多商品流解的性质，以控制冲突并界定近似比。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过标准多商品流松弛，为 EDPwC 在冲突2下实现多对数近似？
• RQ2 在已知线性规划松弛整数规划间隙的前提下，EDPwC 在冲突2下的最佳可能近似因子是多少？
• RQ3 能否将近似比改进至 $ \tilde{O}(n^{3/7}) $ 以上，该值是冲突2下此前的最佳结果？
• RQ4 是否可能在保持低冲突的前提下，为 EDPwC 在冲突2下实现次多项式近似？
• RQ5 我们能在多大程度上逼近已知的近似难解性下界 $ \tilde{\Omega}((\log n)^{1/(c+1)}) $，其中常数冲突 $ c $？

主要发现

• 本文为 EDPwC 在冲突2下实现了 $ O(\operatorname{poly}\log k) $-近似，显著优于先前的 $ \tilde{O}(n^{3/7}) $-近似。
• 该算法至少能以冲突不超过2的方式路由 $ \Omega(\mathsf{OPT}/\operatorname{poly}\log k) $ 对，其中 $ \mathsf{OPT} $ 是无冲突时最优的对数。
• 该结果在近似比方面接近最优，因为冲突2下的已知难解性下界为 $ \tilde{\Omega}((\log n)^{1/3}) $。
• 即使与 EDPwC 在冲突2下的最优解相比，该方法仍能实现多对数近似。
• 该方法表明，冲突2已足够实现次多项式近似，这是此前未知的。
• 该方法表明，当允许冲突时，即使冲突值如2这样的低值，标准多商品流松弛也能提供强大的近似保证。