[论文解读] A positive proportion of plane cubics fail the Hasse principle

Manjul Bhargava|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 23

一句话总结

本文证明了在按系数高度排序时，正比例的整数三元三次型不满足Hasse原理——即它们在ℚ的所有完备化中都有解，但没有有理数解。作者进一步表明，正比例的此类形式非平凡地满足Hasse原理，即在局部可解时存在有理数解。该结果还被推广至其他椭圆曲线模型，如二元四次型和ℙ³中二次曲面的交线。

ABSTRACT

When all ternary cubic forms over $\mathbb Z$ are ordered by the heights of their coefficients, we show that a positive proportion of them fail the Hasse principle, i.e., they have a zero over every completion of $\mathbb Q$ but no zero over $\mathbb Q$. We also show that a positive proportion of all ternary cubic forms over $\mathbb Z$ nontrivially satisfy the Hasse principle, i.e., they possess a zero over every completion of $\mathbb Q$ and also possess a zero over $\mathbb Q$. Analogous results are proven for other genus one models, namely, for equations of the form $z^2=f(x,y)$ where $f$ is a binary quartic form over $\mathbb Z$, and for intersections of pairs of quadrics in $\mathbb P^3$.

研究动机与目标

• 确定按系数高度排序的整数三元三次型中，Hasse原理失效的频率。
• 研究是否存在正比例的此类形式非平凡地满足Hasse原理，即在局部可解时存在有理数解。
• 将这些结果推广至其他椭圆曲线模型：形如z² = f(x,y)的方程，其中f为二元四次型，以及ℙ³中二次曲面的交线。
• 基于算术统计和局部到整体原理，为关于局部可解椭圆曲线中全局可解比例的渐近比例提出证据。

提出的方法

• 通过在空间V(ℝ) ≅ ℝ¹⁰中的扩张紧区域tB对整数三元三次型按系数大小进行排序。
• 将局部可解性定义为在所有ℚₙ中存在解，而可解性则定义为在ℚ中存在有理数解。
• 利用扩张区域中整数型的渐近计数，计算局部可解、可解及违反Hasse原理的型的密度。
• 应用算术统计和Selmer群理论的结果，特别是n-Selmer元素与椭圆曲线有理点之间的关系。
• 利用秩分布猜想来估计具有有理点的n-Selmer元素的比例，从而得出推测的密度。
• 做出两个独立性假设：(1) 从算术角度看，局部可解性与全局可解性相互独立；(2) 有理点在缩放极限下均匀分布，从而得出推测的比例。

实验结果

研究问题

• RQ1 当按系数高度排序时，整数三元三次型中有多大比例不满足Hasse原理？
• RQ2 此类形式中有多大比例非平凡地满足Hasse原理，即局部可解且存在有理数解？
• RQ3 对于其他椭圆曲线模型（如f为二元四次型时的z² = f(x,y)）是否成立类似结果？
• RQ4 在ℙ³中二次曲面的交线中，是否也存在类似的失效与满足比例？
• RQ5 对于这些模型类别，全局可解型在局部可解型中的渐近密度是多少？

主要发现

• 当按系数高度排序时，正比例的整数三元三次型不满足Hasse原理。
• 正比例的整数三元三次型非平凡地满足Hasse原理，即局部可解且存在有理数解。
• 对于三元三次型空间，推测在局部可解型中可解型的下密度为1/3，失效比例为2/3。
• 对于二元四次型和四元二次型对的空间，推测在局部可解型中可解型的下密度为1/4，失效比例为3/4。
• 这些猜想基于秩分布猜想及关于局部可解性与有理点分布的两个自然独立性假设。
• 这些结果支持并扩展了Poonen与Voloch关于椭圆曲线族中Hasse原理失效频率的早期猜想。