[论文解读] A primer on A-infinity-algebras and their Hochschild homology

Stephan Mescher|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文提供了对 $A_{u}$-代数、其 Hochschild 同调与上同调，以及上积结构的自包含、初等的介绍，包含详细的符号计算与证明。它建立了 Hochschild 链复形的长度滤过对应的谱序列，并证明：若 $A_{u}$-双模之间的态射其零度分量在相应的齐次商上诱导同调同构，则该态射在 Hochschild 同调上也诱导同构。

ABSTRACT

We present an elementary and self-contained construction of $A_\infty$-algebras, $A_\infty$-bimodules and their Hochschild homology and cohomology groups. In addition, we discuss the cup product in Hochschild cohomology and the spectral sequence of the length filtration of a Hochschild chain complex. $A_\infty$-structures arise naturally in the study of based loop spaces and the geometry of manifolds, in particular in Lagrangian Floer theory and Morse homology. In several geometric situations, Hochschild homology may be used to describe homology groups of free loop spaces. The objective of this article is not to introduce new material, but to give a unified and coherent discussion of algebraic results from several sources. It further includes detailed proofs of all presented results.

研究动机与目标

• 提供对 $A_{\infty}$-代数及其 Hochschild（上）同调的统一、自包含且初等的处理，填补现有文献中的空白。
• 提供完整且明确的符号计算——这些在以往的资料中常被省略或不一致——尤其是 Hochschild 链复形微分的符号计算。
• 通过长度滤过的谱序列，建立 $A_{\infty}$-双模态射在 Hochschild 同调上诱导同构的判别准则。
• 阐明 Hochschild 上同调中上积结构及其在链复形层面的实现。
• 通过明确的代数工具，将代数结构与几何应用（如自由环路空间同调与 Floer 理论）联系起来。

提出的方法

• 通过一族度数为 $2-n$ 的分次 $R$-模同态 $\mu_n: A^{\bigotimes n} \to A$ 定义 $A_{\infty}$-代数，满足由马耳他十字记号控制符号的 $A_{\infty}$-关系式 (1.1)。
• 为 $A$ 上的 $A_{\infty}$-双模 $M$ 构造 Hochschild 链复形 $CH_*(A;M)$，其微分 $\partial$ 定义为作用于张量积上的操作 $\mu_n$ 的带符号和。
• 引入 $CH_*(A;M)$ 上的长度滤过，其中 $F_p CH_*(A;M)$ 由长度 $\leq p$ 的链构成，并分析其对应的谱序列。
• 通过直接计算，利用 $A_{\infty}$-关系式与符号约定，证明微分 $\partial$ 确实是微分（即 $\partial^2 = 0$）。
• 通过余链复形 $CH^*(A;M)$ 定义 Hochschild 上同调，并在 $M = A$ 时建立其与同调的对偶性。
• 在余链复形上构造 Hochschild 上同调上的上积，证明其为结合且分次交换的链映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以自包含且初等的方式，使用一致的符号约定，定义 $A_{\infty}$-代数及其 Hochschild（上）同调？
• RQ2 对于 $A_{\infty}$-双模，Hochschild 链复形的精确结构是什么？其微分如何满足 $\partial^2 = 0$？
• RQ3 Hochschild 链复形的长度滤过所对应的谱序列行为如何？其第一页是什么？
• RQ4 在何种条件下，$A_{\infty}$-双模之间的态射会在 Hochschild 同调上诱导同构？
• RQ5 Hochschild 上同调中的上积如何在链复形层面实现？其代数性质是什么？

主要发现

• Hochschild 链复形 $CH_*(A;M)$ 上的微分满足 $\partial^2 = 0$，通过仔细追踪符号并直接验证 $A_{\infty}$-关系式得以证明。
• 与 $CH_*(A;M)$ 的长度滤过相关的谱序列，其第一页同构于 $H_*(M) \otimes H_*(A)^{\bigotimes p}$，微分由 $\mu_1$ 诱导。
• 若 $A_{\infty}$-双模之间的态射 $f: M \to N$，其诱导的零度分量 $f_{0,0}: M \to N$ 在同调 $H_*(M) \to H_*(N)$ 上诱导同构，则该态射在 Hochschild 同调上也诱导同构。
• Hochschild 上同调中的上积由余链复形上的链映射诱导，因此是定义良好且结合、分次交换的乘积。
• 若 $f_{0,0} \otimes \mathrm{id}_{A^{\bigotimes p}}$ 在同调上诱导同构，则态射 $f_*: CH_*(A;M) \to CH_*(A;N)$ 在谱序列的第一页也诱导同构，当 $M$ 与 $N$ 无挠时，此结论在 Künneth 定理下成立。
• 谱序列第一页上的诱导映射同构于 $H_*(f_{0,0}) \otimes \mathrm{id}_{H_*(A)^{\bigotimes p}}$，并使用五引理得出结论：总映射 $f_*$ 在 Hochschild 同调上诱导同构。