[论文解读] A probabilistic approach to large time behaviour of mild solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations in infinite dimension

Ying Hu, Pierre-Yves Madec+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文提出了一种纯概率方法，用于分析无限维希尔伯特空间中哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程温和解的大时间行为。通过伊tô型随机微分方程（BSDE）的有限时域解与遍历BSDE解之间的Girsanov变换和耦合估计，建立了显式的指数收敛速率：|u(T,x)−λT−v(x)−L|≤C(1+|x|^{2+μ})e^{−η̂T}，其中λ和v是遍历HJB方程的解，L为常数偏移量。

ABSTRACT

We study the large time behaviour of mild solutions of HJB equations in infinite dimension by a purely probabilistic approach. For that purpose, we show that the solution of a BSDE in finite horizon $T$ taken at initial time behaves like a linear term in $T$ shifted with the solution of the associated EBSDE taken at initial time. Moreover we give an explicit speed of convergence, which seems to appear very rarely in literature.

研究动机与目标

• 分析无限维希尔伯特空间中HJB方程温和解的大时间渐近行为。
• 建立有限时域解与其遍历近似之间差异的收敛速率。
• 发展一种完全基于概率的框架，避免使用纯分析或PDE方法。
• 将结果应用于最优控制问题，建立有限时域成本与遍历成本之间的联系。

提出的方法

• 利用有限时域T内的倒向随机微分方程（BSDE）对温和解进行概率表示。
• 依赖于时间0处有限时域BSDE解与遍历BSDE（EBSDE）解之间的联系。
• 应用Girsanov变换重新加权概率测度，比较不同测度下SDE的动力学行为。
• 采用耦合估计控制原始测度与变换后测度下奥恩斯坦-乌伦贝克过程分布之间的距离。
• 使用与H值奥恩斯坦-乌伦贝克过程（由维纳过程驱动）相关的科尔莫戈罗夫半群的正式生成元L。
• 推导出渐近展开式u(T,x) = λT + v(x) + L + o(1)，并给出显式的指数收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 当时间horizon T趋于无穷时，有限时域HJB方程的解如何演化？
• RQ2 有限时域解向遍历解的线性T项修正的收敛过程能否以显式速率量化？
• RQ3 在解u(T,x)的渐近展开中，遍历分量(λ, v)起什么作用？
• RQ4 能否不依赖PDE或粘性解技术，分析温和解的大时间行为？
• RQ5 如何利用BSDE对解的概率表示，推导无限维HJB方程中的收敛速率？

主要发现

• 在时间0处，有限时域BSDE的解收敛于λT + v(x) + L，其中λ和v满足遍历HJB方程。
• 建立了显式的指数收敛速率：|u(T,x)−λT−v(x)−L|≤C(1+|x|^{2+μ})e^{−η̂T}，其中η̂依赖于算子A的耗散性。
• 收敛速率在|x|上为多项式，在T上为指数形式，指数η̂与A的耗散常数相关。
• 该方法完全基于概率，依赖于Girsanov变换和耦合估计，避免了传统PDE技术。
• 该结果适用于g和f具有多项式增长的HJB方程，且f对梯度变量具有Lipschitz连续性。
• 该框架被推广至最优控制问题，表明有限时域成本J^T(x,a)渐近行为类似于λT + v(x) + L，其中λ为遍历成本，L为常数偏移量。