[论文解读] A proof of De Concini-Kac-Procesi conjecture I. Representations of quantum groups at roots of unity and q-W algebras

Alexey Sevastyanov|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用 5

一句话总结

本文通過展示在奇數次單位根處，量子群 U_q(g) 的任意有限維不可約表示的維數可被 m^{1/2 codim S} 整除，從而證明了 De Concini-Kac-Procesi 猜想，其中 S 是與單連通代數群 G 中對應共轭類 O 相交的特殊橫截截面。該結果建立了 U_q(g)-模與與 S 相關的 q-W 代數表示之間的范畴等價。

ABSTRACT

Let U_q(g) be the standard simply connected version of the Drinfeld-Jumbo quantum group at an odd m-th root of unity q. De Concini, Kac and Proicesi observed that isomorphism classes of irreducible representations of U_q(g) are parameterized by the conjugacy classes in the connected simply connected algebraic group G corresponding to the simple complex Lie algebra g. They also conjectured that the dimension of a representation corresponding to a conjugacy class O is divisible by m^{1/2 dim O}. We show that if O intersects one of special transversal slices S to the set of conjugacy classes in G defined in arXiv:0809.0205 then the dimension of every finite-dimensional irreducible representation of U_q(g) corresponding to O is divisible by m^{1/2 codim S}. In the second part of this paper arXiv:1403.4108 is shown that for every conjugacy class O in G one can find a transversal slice S such that O intersects S and dim O = codim S. This proves the De Concini-Kac-Procesi conjecture. Our result also implies an equivalence between a category of finite-dimensional U_q(g)-modules and a category of finite-dimensional representations of a q-W algebra which can be regarded as a truncation of the quantized algebra of regular functions on S.

研究动机与目标

• 證明 De Concini-Kac-Procesi 對量子群在單位根處表示維數可被整除的猜想。
• 透過橫截截面，建立有限維 U_q(g)-模與 q-W 代數表示之間的聯繫。
• 證明對於 G 中的每一個共轭類 O，均存在一個橫截截面 S，使得 O 與 S 相交，且 dim O = codim S。
• 證明當 O 與 S 相交時，對應於 O 的 U_q(g)-不可約表示的維數可被 m^{1/2 codim S} 整除。
• 提供 U_q(g)-模與 q-W 代數的有限維表示之間的范畴等價，其解釋為 S 上的量子化正則函數代數的截斷。

提出的方法

• 利用 arXiv:0809.0205 中構造的單連通代數群 G 中共轭類的特殊橫截截面 S。
• 分析 G 中共轭類 O 及其與橫截截面 S 交集的幾何性質，以關聯餘維與表示維數。
• 應用 U_q(g) 在奇數次單位根處的表示理論技術，專注於由共轭類參數化的不可約表示。
• 建立有限維 U_q(g)-模與與 S 相關的 q-W 代數的有限維表示之間的範疇等價。
• 利用 q-W 代數作為 S 上量子化正則函數代數的截斷的事實，連結幾何與代數結構。
• 運用在單位根處的量子群及其表示理論，透過截面的餘維推導維數約束。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於在奇數次單位根 q 處的 U_q(g) 的每一個有限維不可約表示，其維數是否可被 m^{1/2 dim O} 整除，其中 O 是對應表示的共轭類？
• RQ2 是否每個 G 中的共轭類 O 都能與一個橫截截面 S 相交，使得 dim O = codim S？
• RQ3 當 O 與 S 相交時，對應於 O 的 U_q(g)-表示的維數是否可被 m^{1/2 codim S} 整除？
• RQ4 有限維 U_q(g)-模的範疇與有限維 q-W 代數表示的範疇之間的精確關係為何？
• RQ5 q-W 代數與橫截截面 S 上的量子化正則函數代數之間的關係為何？

主要发现

• 當共轭類 O 與特殊橫截截面 S 相交時，對應於 O 的 U_q(g) 的每一個有限維不可約表示的維數均可被 m^{1/2 codim S} 整除。
• 對於 G 中的每一個共轭類 O，均存在一個橫截截面 S，使得 O 與 S 相交且 dim O = codim S，從而確認了一個關鍵幾何條件。
• De Concini-Kac-Procesi 猜想已完全證明：任何此類表示的維數均可被 m^{1/2 dim O} 整除。
• 建立了有限維 U_q(g)-模的範疇與與 S 相關的有限維 q-W 代數表示的範疇之間的範疇等價。
• q-W 代數被實現為橫截截面 S 上的量子化正則函數代數的截斷，從而連結了幾何與表示理論。
• 該結果為量子群在單位根處表示維數可被整除的現象提供了幾何解釋。