[论文解读] A quantum algorithm to solve nonlinear differential equations

Sarah K. Leyton, Tobias J. Osborne|ArXiv.org|Dec 23, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用 65

一句话总结

本文提出了一种用于求解具有多项式非线性的稀疏非线性常微分方程组（ODE）的量子算法，利用量子振幅非线性性以及欧拉法的量子实现。该算法在变量数量上实现对数多对数（polylogarithmic）量级的缩放，并在积分时间上实现指数级缩放，为这类系统提供了相对于经典方法的指数级加速。

ABSTRACT

In this paper we describe a quantum algorithm to solve sparse systems of nonlinear differential equations whose nonlinear terms are polynomials. The algorithm is nondeterministic and its expected resource requirements are polylogarithmic in the number of variables and exponential in the integration time. The best classical algorithm runs in a time scaling linearly with the number of variables, so this provides an exponential improvement. The algorithm is built on two subroutines: (i) a quantum algorithm to implement a nonlinear transformation of the probability amplitudes of an unknown quantum state; and (ii) a quantum implementation of Euler's method.

研究动机与目标

• 开发一种高效求解大规模稀疏非线性ODE系统（具有多项式非线性）的量子算法。
• 解决在表示ODE解的未知量子态上实现非线性变换的挑战。
• 将量子优势从线性微分方程扩展到非线性微分方程，建立在先前针对线性系统开发的量子算法基础上。
• 实现对复杂动力系统（如Orszag-McLaughlin系统和离散非线性薛定谔方程）的高效模拟。
• 探索通过纠缠初始态对具有等时统计特性的确定性动力系统实现量子算法可行性的研究。

提出的方法

• 该算法使用一种非确定性的量子子程序，对编码解向量的量子态振幅实施非线性变换。
• 通过使用量子态的两份副本，利用张量积态生成双线性项，从而实现二次多项式映射。
• 通过保持测度不变的变换来维持归一化，成功概率通过振幅放大进行控制。
• 通过迭代应用非线性变换并采用步长h，实现欧拉法的量子化，近似ODE的演化过程。
• 该方法在变量数n上呈现对数多对数（poly(log n)）量级的缩放，同时在1/h和积分时间t上呈现指数级缩放。
• 扩展包括：通过使用多个状态副本处理更高阶非线性（如立方项等），以及通过纠缠初始态计算等时统计。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子算法能否高效求解具有多项式非线性的非线性ODE系统，超越线性系统的适用范围？
• RQ2 在未知量子态上实现非线性振幅变换的资源成本是多少？
• RQ3 对于具有时间与步长指数级缩放的稀疏非线性ODE，能否高效实现量子欧拉法？
• RQ4 量子算法在多大程度上能够模拟复杂动力系统，如Orszag-McLaughlin系统或离散非线性薛定谔方程？
• RQ5 是否能够通过量子振幅演化和纠缠态高效计算确定性动力系统的等时统计？

主要发现

• 该算法在变量数n上实现对数多对数（polylogarithmic）量级的缩放，相较于经典方法在n上线性缩放，代表了指数级加速。
• 资源需求在逆步长h和积分时间t上呈现指数级增长，限制了其在长积分时间或小h条件下的实际应用。
• 该方法适用于非线性项为可高效计算的多项式且特别保持范数∑|zⱼ|²不变的稀疏系统。
• 对于具有二次非线性的系统，该算法通过使用量子态的两份副本，利用张量积态实现所需的振幅变换。
• 通过在每一步消耗三个或更多份状态副本，可将方法扩展至更高阶非线性（如立方项）。
• 通过演化纠缠初始态并测量辅助寄存器，该方法可实现对确定性系统等时统计的高效采样。