[论文解读] Creating superpositions that correspond to efficiently integrable probability distributions

Lov K. Grover, Terry Rudolph|ArXiv.org|Aug 15, 2002

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 244

一句话总结

本文提出了一种高效的量子算法，通过递归细分区域并基于经典计算的累积概率应用受控旋转，来制备对应于离散化、可高效积分的概率分布（如对数凹分布）的叠加态。关键贡献在于一种方法，可相干地制备振幅与概率平方根成比例的量子态，从而在后续处理中实现量子干涉和加速。

ABSTRACT

We give a simple and efficient process for generating a quantum superposition of states which form a discrete approximation of any efficiently integrable (such as log concave) probability density functions.

研究动机与目标

• 开发一种高效制备对应于离散化概率分布 {pᵢ} 的量子叠加态 |ψ⟩ = Σ√pᵢ|i⟩ 的方法。
• 解决当底层分布可高效积分（如对数凹分布）时，此类态是否可被高效制备的问题。
• 通过单位操作对概率分布进行相干操控，实现超越经典采样的量子优势。
• 探索在非均匀先验的量子搜索以及通过振幅估计算法估计傅里叶分量中的应用。
• 证明量子计算可在不依赖经典随机性输入的前提下，相干访问经典概率分布。

提出的方法

• 该方法递归地将概率分布的定义域细分为更小的区域，从表示区域概率的粗粒度 m-qubit 状态开始。
• 对于每个区域 i，算法经典地计算 f(i) = ∫_{i 的左半部分} p(x)dx / ∫_{区域 i} p(x)dx，即处于左半部分的条件概率。
• 使用可相干计算 f(i) 的量子电路，将辅助寄存器制备为状态 |θᵢ⟩，其中 θᵢ = arccos(√f(i))。
• 对额外的量子比特施加角度为 θᵢ 的受控旋转，将其与区域态纠缠，生成 √pᵢ⁽ᵐ⁾|i⟩(cosθᵢ|0⟩ + sinθᵢ|1⟩)。
• 对辅助寄存器进行逆计算以解 entangle，留下增加量子比特数后的目标态形式。
• 该过程迭代进行，直到使用 n 个量子比特，最终得到在 N = 2ⁿ 个态上的叠加态，其振幅为 √pᵢ。

实验结果

研究问题

• RQ1 当累积分布函数可高效积分时，量子计算机能否高效制备对应于离散化概率分布 {pᵢ} 的叠加态 |ψ⟩ = Σ√pᵢ|i⟩？
• RQ2 即使经典积分算法是概率性的，是否仍可仅通过量子操作相干地生成此类叠加态？
• RQ3 如何利用该方法将非均匀先验整合到量子搜索算法中？
• RQ4 与经典采样相比，制备此类叠加态会带来哪些量子优势？
• RQ5 该方法能否扩展到多变量概率分布？

主要发现

• 该算法通过递归细分和受控旋转，高效制备了对应于离散化、可高效积分的概率分布的量子叠加态。
• 该方法适用于所有对数凹分布（包括正态、指数和泊松分布），因为其累积分布函数可高效计算。
• 使用辅助量子比特来相干计算并应用旋转角度，确保了概率性经典积分算法可在量子计算机上被相干模拟。
• 所生成的叠加态可实现经典采样无法访问的量子干涉效应，例如通过沃尔什-哈达玛变换生成非对数凹分布的输出。
• 该方法支持在振幅估计和具有非均匀先验的量子搜索中的应用，可能实现相对于经典对应物的二次加速。
• 该构造具有可扩展性，在 N = 2ⁿ 的态数呈指数增长时仍保持效率，前提是累积分布函数可高效积分。