[论文解读] A real algebra perspective on multivariate tight wavelet frames

Maria Charina, Mihai Putinar+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2012

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文建立了多变量紧框架构造与实代数几何之间的新联系，利用厄米特平方和与半定规划，证明了在 d=2 维下存在至少一个消失矩的紧框架。该研究正面解决了长期悬而未决的开放问题，并提供了数值高效、可解析构造的框架生成元，同时在 d=3 中识别出反例，并为更高维度提出了更强的充分条件。

ABSTRACT

Recent results from real algebraic geometry and the theory of polynomial optimization are related in a new framework to the existence question of multivariate tight wavelet frames whose generators have at least one vanishing moment. Namely, several equivalent formulations of the so-called Unitary Extension Principle by Ron and Shen are interpreted in terms of hermitian sums of squares of certain nonnegative trigonometric polynomials and in terms of semi-definite programming. The latter together with the recent results in algebraic geometry and semi-definite programming allow us to answer affirmatively the long standing open question of the existence of such tight wavelet frames in dimension $d=2$; we also provide numerically efficient methods for checking their existence and actual construction in any dimension. We exhibit a class of counterexamples in dimension $d=3$ showing that, in general, the UEP property is not sufficient for the existence of tight wavelet frames. On the other hand we provide stronger sufficient conditions for the existence of tight wavelet frames in dimension $d > 3$ and illustrate our results by several examples.

研究动机与目标

• 解决多变量紧框架在 d=2 维下至少存在一个消失矩的长期开放问题。
• 建立一种新的代数框架，将酉扩展原理（UEP）与非负三角多项式的厄米特平方和联系起来。
• 开发基于半定规划的数值高效、可构造的紧框架生成元生成方法。
• 识别在 d≥3 中 UEP 不足以保证框架存在的案例，并提出更强的充分条件。
• 提供具有最小支持约束的紧框架的解析构造，优于现有数值方法。

提出的方法

• 通过厄米特平方和的三角多项式重述酉扩展原理（UEP），实现对紧框架存在性的代数表征。
• 将 UEP 条件转化为半定规划（SDP）问题，实现框架生成元的高效数值计算。
• 利用实代数几何的成果——特别是非负三角多项式与平方和理论——分析框架的存在性。
• 利用三角多项式的同调分解构造具有受控支持与对称性的框架生成元。
• 应用矩问题与多项式优化理论，验证非负性及 SOS 表示的存在性。
• 通过提升 SOS 分解的同调分量，解析构造显式框架生成元，确保紧性与消失矩。

实验结果

研究问题

• RQ1 酉扩展原理（UEP）是否保证在 d=2 维下存在至少一个消失矩的多变量紧框架？
• RQ2 能否利用实代数几何与多项式优化工具，确立 d=2 下此类紧框架的存在性？
• RQ3 在 d≥3 中是否存在 UEP 不足以保证框架存在的案例？若存在，何种更强条件可确保存在性？
• RQ4 能否使框架构造实现数值高效且解析显式，避免先前方法中常见的支持加倍问题？
• RQ5 如何利用三角多项式及其 SOS 表示的结构，推导出紧框架生成元？

主要发现

• 本文利用实代数几何成果，正面解决了 d=2 维下多变量紧框架至少存在一个消失矩的开放问题。
• 提出一种基于厄米特平方和的 UEP 新代数表述，通过半定规划实现可构造方法，支持高效框架生成。
• 作者构造了一个包含 13 个生成元的 2D 蝴蝶方案紧框架，其生成元为解析构造，支持大小约为多分辨率函数的两倍。
• 在 d=3 维中，本文给出反例：UEP 条件满足但不存在紧框架，证明 UEP 在高维中不充分。
• 对于 d≥3，本文提出了更强的充分条件，将理论适用范围从 d=2 拓展至更高维。
• 数值测试证实，与插值 √3-细分格式相关的非负三角多项式确实为非负，支持有效框架的存在性。