[论文解读] Positive polynomials in scalar and matrix variables, the spectral theorem and optimization

J. William Helton, Mihai Putinar|ArXiv.org|Dec 4, 2006

Matrix Theory and Algorithms参考文献 108被引用 45

一句话总结

本文通过非交换实代数几何，统一了正多项式、谱定理与优化，表明在半代数集上非负的矩阵多项式可表示为平方和分解，并能通过线性矩阵不等式（LMIs）表示。关键贡献在于构建了一个将正性证书与LMIs可解性相联系的构造性框架，从而实现高效优化与控制应用。

ABSTRACT

We follow a stream of the history of positive matrices and positive functionals, as applied to algebraic sums of squares decompositions, with emphasis on the interaction between classical moment problems, function theory of one or several complex variables and modern operator theory. The second part of the survey focuses on recently discovered connections between real algebraic geometry and optimization as well as polynomials in matrix variables and some control theory problems. These new applications have prompted a series of recent studies devoted to the structure of positivity and convexity in a free *-algebra, the appropriate setting for analyzing inequalities on polynomials having matrix variables. We sketch some of these developments, add to them and comment on the rapidly growing literature.

研究动机与目标

• 通过非交换正性视角，统一泛函分析、代数几何与优化中的经典正性概念。
• 在矩阵多项式的正性与线性矩阵不等式（LMIs）之间建立桥梁，这对控制理论与优化至关重要。
• 为自由$*$-代数中的维数无关与维数相关正性建立理论框架，实现算法求解。
• 为教学与在工程和数学优化问题中应用非交换正性提供基础。
• 通过将平方和与LMIs表示相联系，弥合代数正性与数值可解性之间的鸿沟。

提出的方法

• 利用希尔伯特空间中的谱定理与正性判别准则，分析非交换变量多项式的正性。
• 在自由$*$-代数中应用矩阵多项式的Positivstellensatz，通过平方和形式认证正性。
• 构造一个矩阵值线性束$\mathcal{L}(a)[x]$，其多项式系数关于$x$线性，其施瓦茨补恢复原始多项式$P(a,x)$。
• 利用正测度与多项式正性之间的矩对偶性，推导非负性的代数证书。
• 通过利用二次项的结构及其通过正定矩阵$M(a)$的表示，将矩阵不等式问题约化为LMIs形式。
• 利用NCAlgebra与NCGB等符号计算工具，处理非交换多项式恒等式与化简。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用代数平方和形式认证非交换变量中矩阵多项式的正性？
• RQ2 在何种条件下，一个在半代数集上正的矩阵多项式可在自由$*$-代数中表示为平方和？
• RQ3 在何种情况下，矩阵不等式$P(a,x) > 0$可等价地重述为关于变量$a$的线性矩阵不等式（LMI）？
• RQ4 底层矩阵变量的维数如何影响正性与LMIs可表示性之间的等价性？
• RQ5 谱定理与矩问题在连接非交换多项式的泛函分析与实代数几何时起到何种作用？

主要发现

• 在半代数集上正的矩阵多项式可在自由$*$-代数中表示为平方和分解，提供正性的代数证书。
• 对于关于$x$为二次的矩阵多项式，可通过正定矩阵$M(a)$认证正性，从而实现LMIs构造。
• 可构造一个矩阵值线性束$\mathcal{L}(a)[x]$，其系数为关于$a$的多项式且关于$x$线性，其施瓦茨补等于$P(a,x)$，从而确保与原始不等式的等价性。
• 当二次部分$P^{II}(a,x)$满足Positivstellensatz时，存在多项式LMIs表示，可通过标准SDP求解器实现数值求解。
• 在维数无关情形下，矩阵多项式的正性等价于LMIs可表示性，但在维数相关情形下，由于额外的凸性约束，该等价性不成立。
• 该框架可通过GloptiPoly、SeDuMi与NCAlgebra等软件工具实现实际应用，促进优化与控制领域的应用。