[论文解读] A realization of certain modules for the $N=4$ superconformal algebra and the affine Lie algebra $A_2 ^{(1)}$

Dražen Adamović|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用 9

一句话总结

本文在 $bc\beta\gamma$ 系统中显式实现了中心荷 $c = -9$ 的简单 $N=4$ 超共形顶点代数 $L_c^{N=4}$，嵌入仿射顶点代数 $L_{A_1}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$，并建立了从 $L_c^{N=4}$-模到可及仿射顶点代数 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$-模的函子。关键贡献在于为这两个代数构造了无限族的权模与对数模，并通过共物实现表明 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$ 的一个子代数是中心荷 $c = -10$ 的 $W(2,3)$-代数的对数扩张。

ABSTRACT

We shall first present an explicit realization of the simple $N=4$ superconformal vertex algebra $L_{c} ^{N=4}$ with central charge $c=-9$. This vertex superalgebra is realized inside of the $ b c βγ$ system and contains a subalgebra isomorphic to the simple affine vertex algebra $L_{A_1} (- frac{3}{2} Λ_0)$. Then we construct a functor from the category of $L_{c} ^{N=4}$--modules with $c=-9$ to the category of modules for the admissible affine vertex algebra $L_{A_{2} } (- frac{3}{2} Λ_0)$. By using this construction we construct a family of weight and logarithmic modules for $L_{c} ^{N=4}$ and $L_{A_{2} } (- frac{3}{2} Λ_0)$. We also show that a coset subalgebra of $L_{A_{2} } (- frac{3}{2} Λ_0)$ is an logarithmic extension of the $W(2,3)$--algebra with $c=-10$. We discuss some generalizations of our construction based on the extension of affine vertex algebra $L_{A_1} (k Λ_0)$ such that $k+2 = 1/p$ and $p$ is a positive integer.

研究动机与目标

• 在中心荷 $c = -9$ 下，显式实现简单 $N=4$ 超共形顶点代数 $L_c^{N=4}$。
• 建立从 $L_c^{N=4}$-模到可及仿射顶点代数 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$-模的函子。
• 为 $L_c^{N=4}$ 与 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$ 构造无限族的不可约权模与对数模。
• 识别 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$ 的一个共物子代数为 $c = -10$ 的 $W(2,3)$-代数的对数扩张。
• 将构造推广至一族顶点代数 ${\mathcal{V}}^{(p)}$ 与 $\mathcal{R}^{(p)}$（$p \geq 3$），扩展了 $N=4$ 与 $A_2^{(1)}$ 的情形。

提出的方法

• 将中心荷 $c = -9$ 的 $N=4$ 超共形顶点代数 $L_c^{N=4}$ 实现为 Weyl 顶点代数 $M$ 与 Clifford 顶点超代数 $F$ 的张量积中最大的 $sl_2$-可积子模，对应于 $bc\beta\gamma$ 系统。
• $L_{A_1}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$ 的 Wakimoto 模在 $M \otimes F$ 中实现，且 $L_c^{N=4}$ 同构于该张量积中最大的 $sl_2$-可积子模。
• 构造函子 $\mathcal{L}_s$，将（扭的）$L_c^{N=4}$-模映射到无扭的 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$-模，从而实现模结构的转移。
• $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$ 作为 $L_c^{N=4} \otimes F_{-1}$ 的子代数实现，其中 $F_{-1}$ 是广义格点顶点代数。
• 引入广义顶点代数 ${\mathcal{V}}^{(p)}$ 与 $\mathcal{R}^{(p)}$（$p \geq 3$），通过 $L_{A_1}(k\Lambda_0)$ 的扩展（$k+2 = 1/p$）定义，并在 $\mathcal{V}^{(p)} \otimes F_{-p/2}$ 中实现。
• 利用共形嵌入与 $\mathcal{W}$-代数构造，支持猜想：$\mathcal{R}^{(3)} \cong \mathcal{W}_{k}(sl_4, f_\theta)$ 在 $k = -8/3$ 时成立，与高秩对数扩张相关。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 $bc\beta\gamma$ 系统中显式实现中心荷 $c = -9$ 的简单 $N=4$ 超共形顶点代数？
• RQ2 $L_c^{N=4}$ 在 $c = -9$ 时的模范畴结构为何，特别是其在范畴 $\mathcal{O}$ 与权模中的不可约模？
• RQ3 如何构造一个函子，将 $L_c^{N=4}$-模与可及仿射顶点代数 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$-模关联起来？
• RQ4 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$ 的共物子代数的性质为何，其与 $W(2,3)$-代数的对数扩张有何关系？
• RQ5 能否将 $L_c^{N=4}$ 与 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$ 的构造推广至一族顶点代数 ${\mathcal{V}}^{(p)}$ 与 $\mathcal{R}^{(p)}$（$p \geq 3$）？

主要发现

• 中心荷 $c = -9$ 的 $N=4$ 超共形顶点代数 $L_c^{N=4}$ 被实现为 $M \otimes F$ 中最大的 $sl_2$-可积子模，其中 $M$ 为 Weyl 顶点代数，$F$ 为 Clifford 顶点超代数，对应于 $bc\beta\gamma$ 系统。
• 在 $L_c^{N=4}$ 的范畴 $\mathcal{O}$ 中仅有两个不可约模，而存在无限多个不可约权模，且具有有限维权空间的 $\frac{1}{2}\mathbb{Z}_{\geq 0}$-加权模范畴是半单的。
• $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$ 被实现为 $L_c^{N=4} \otimes F_{-1}$ 的子代数，且函子 $\mathcal{L}_s$ 将 $L_c^{N=4}$-模映射到 $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$-模。
• $L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$ 的一个共物子代数被识别为 $c = -10$ 的 $W(2,3)$-代数的对数扩张，表明其与对数共形场论的联系。
• 对 $p \geq 3$ 构造了广义顶点代数 ${\mathcal{V}}^{(p)}$ 与 $\mathcal{R}^{(p)}$，其中 $\mathcal{R}^{(2)} \cong L_{A_2}(-\frac{3}{2}\Lambda_0)$，并提出一个猜想：$\mathcal{R}^{(3)} \cong \mathcal{W}_{k}(sl_4, f_\theta)$ 在 $k = -8/3$ 时成立，与高秩 $\mathcal{W}$-代数相关。